ATTRACTION DES CORPS
Loi de l'attraction. — Attraction d'une couche spliérique. — Attraction de deux sphères. — Formules générales. — Réduction des intégrales générales à une seule. — Propriétés de la fonction V.
LOI DE L ATTll.VCTION.
112. Tous les corps de la nature s'attirent mutuellement, et l'intensité de l'attraction pour deux coips est proportionnelle aux masses ou quantités de matière de ces corps et en raison inverse du carré de leur distance.
Pour éclaircir cet énoncé, supposons que deux corps de dimensions et de formes quelconques, ayant chacun une masse égale à l'unité, s'attirent mutuellement, et concevons que cette attraction ne varie ni en grandeur ni en direction dans toute l'étendue de ces deux coips , en sorte qu'elle soit la même entre deux points matériels « et Z> de ces deux corps que celle qui aurait lieu entre ces deux points s'ils étaient placés à l'unité de distance l'un de l'autre. Appelons^ l'attraction totale exercée par l'un de ces deux corps sur l'autre. La loi énoncée plus haut signifie que si deux points matériels ont des masses p. et ^' et sont placés à une distance u l'un de l'autre, l'attraction
r 17 11 , fu.pJ
exercée par l un d eux sur 1 attire sera mesurée par "^ ' ' -•
ATTRACTIO]yf o'trîE COUCHE SPHÉRIQUE.
113. Considérons une couche homogène comprise entre deux sphères concer.triques dont les rayons soient b et C5 et cherchons à déteruniicr l'attraciion exercée par
FifT. 52.
la couche sur un point matériel K extérieur à cette
couche.
Soit M un point matériel de la couche 5 nommons \).' sa masse et r, 0, J/ ses coordonnées polaires, en pienantle point O pour pôle, pour ase polaire la droite Ojc qui passe par le point K, et enfin pour plan fixe le plan
xOy. Posons en outre
OK = a, MK = «.
En nommant d\ l'élément de vol unie de la couche, on a (107)
et par conséquent, si p est la densité de la substance dont la couche est formée, on a
l^' = p dy = pr^ sin 6 dr dQ d^.
L'attraction exercée par le point matériel M sur le point K aurapoui' expression (112)
fau.'
c'est-à-dire
f^t-rj r"^ s\n9 drdQ d-h
il4. Les attractions exercées par tous les points de la couche sphérique sur le point K sont des foices appliquées en ce point, et dont la résultante duit èire dirigée suivant KO, car tout est symétrique autour de cetle droite. 11 suffira donc dévaluer la somme des composantes partielles dirigées suivant KO. Or, la composante suivant KO de l'attraction mutuelle des points M et K est
fy-F-'
cosMKO
fu.y-' a- ■
NEUVIÈIME LEÇON. 8l
OU, en remplaçant /jl' par sa valeur,
mais on a
u"^ = a''-{- r^ — 2 ar ces 0 ,
d'où
K du = ars\x\B dO.
Donc l'expression ci-dessus peut s'écrire
/lip r dr dit d-li / a^ —
115. Pour intégrer cette expression, on remarquera d'abord que é n'y entre que par sa dilïérentielle, car u et r sont indépendants de s^i. En intégrant par rapport à (^, depuis zéro jusqu'à 2Tr, on aura donc
I H '— \du.
Intégrant par rapport à a, on aura d'abord pour l'intégrale indéfinie
du = u -\ 4- C.
116. IMaintenant si le point K est situé entre le centre Fi(j. 53, et la couche spliérique, comme
la distance
u = y /•- + a' — 2ar ces 9
doit rtre positive et que les limites de 0 sont zéro et tt , les
limites correspondantes de u seront r — « et r+ a- mais
Il résulte de là qu'en multipliant par '" ^^ — et inté- Sturm — 3Iéc,\. 6
Sa COURS DE MÉCANIQUE.
grant par rapport à /■, on aura une constante pour l'intégrale indéfinie, et par suite zéro pour l'intégrale définie. On a donc ce lliéorènie :
La résultante des attractions de tons les points matériels d\ine couche sphérique homogène sur un point matériel placé dans son intérieur est nulle.
' H7. En second lieu, si le point K est situé à l'extéiieur de la couche, après avoir intégré par rapport à (j/, il faudra intégrer par rapport à u de u = a — 7' à u = a -{- r , valeurs extrêmes de m : or
( iH \da^a-hr — « + /• — (a — /• — r — a) = 4'";
par suite, en intégrant entre les limites b et c l'expres-
sion '^' — ■ dr, on aura
On peut simplifier ce résultat, en observant que si m est la masse de la couche sphérique, p étant sa densité
et ^ TT (c^ — • b^) son volume, on a
d'où résulte que l'attraction exercée sur le point est
'a' De là ce théorème :
V attraction exercée par une couche sphérique homogène sur un point matériel extérieur à cette couche est égale à celle qu'éprouverait ce point si toute la masse de la couche était réunie à son centre.
1Î8. Les résultats trouvés (116 et 117) s'étendent au
cas d'un corps composé de couches spliériques et concen-
Fig. 54.
triques dont la densiié varie de l'une à l'autre suivant une loi quelconque, mais de telle sorte que celte densité reste constante dans toute retendue d'une même couche.
En effet, si le point K est dans l'intérieur du corps, la résultante des actions de chaque couche élémentaire élant nulle, l'attraction totale est bien nulle aussi.
En second lieu, si le point est à l'extérieur du corps, chaque couche élémentaire agissant comme si toute sa masse était concentrée en son centre, l'attraction du corps tout entier sur ce même point sera la même que si la masse totale était réunie au centre.
1 19. Si le point R fait partie de la masse attirante, on concevra celle-ci partagée en deux couches sphériques
concentriques au moyen d'une sphère de même centre passant par ce point. L'attraction totale exercée sur le point par la couche extérieure sera nulle et le point sera seulement attiré
par la seconde couch.e, comme si toute la masse de celle-ci
était réunie au centre.
120. Quand le rayon intérieur de la couche sphérique est nul, c'est-à-dire dans le cas de la sphère, les résultats précédents subsistent encore. En supposant la sphère ho-
mogene, — ~ p est la partie de sa masse qui airit sur le
point considéré et l'attraction a pour \a\eur ^ Ttfupa-^
ainsi V attraction d\ine sphère sur un point intérieur est. proportionnelle à la distance du point attiré au centre,
