LIMITES DES INTÉGRALES PRÉCÉDENTES
109. Quant aux limites de ces intégrales, il faut distinguer deux cas, suivant que l'origine des coordonnées est dans le corps ou hors du corps.
Dans le premier cas,i° on intégrera d'abord par rapport à r en regardant 0, ^, dd, d^ comme des constantes,
yÔ' COURS DE MÉCANIQUE.
depuis 7'= o jusqu'à r^=f[0, 6), réquation polaire de la surface du corps résolue par lapport à /' élant
On aura ainsi le poids et le centre de gravité d'une pyramide infiniment pelite ayant son sommet au point O, v\ dont les quatre arêtes seraient les droites OL, OK, OL', OK', qui correspondent aux angles 0 et ^.
•x^ On iniégrera ensuiîe par rapport à 0, en regardant 'h et f/i^ comme des constantes, depuis 5 = q jusqu'à 0 = 7r, ce qui donnera le poids et le cenîrede gravité d'une tranche infiniment mince comprise entre deux plans infiniment voisins passant par Ox et correspondant à un angle (|/.
3"^ Enfin, on aura le résultat définitif en intégrant les quatre expressions trouvées par rapport à i|; entre les limites t]/ = o et ip = au. D'après cela, la formule qui donne P pourra s'écrire
0 «yo J 0
'Ao,<p)
'dr.
110. Si le point O est extérieur, on intégrera d'abord, Fia 5i. par rapport à r, entre les limites
en supposant que l'équation de la surface, résolue par rapport à r, donne pour cette variable les deux valeurs
Soient maintenant 6' et b" les angles que les tangentes menées par le point O à la courbe d'intersection de la surface et du plan MOj? font avec l'a^e 0.r. On intégrera par rapport à (9 depuis 0' jusqu'à b" . Enfin, on intégrera par rapport à ^ depuis (]^ = a jusqu'à tp = jS, a et j3
étant les valeurs de ^ coirespoudanl à deux plans menés par Ox, et tangents à la surface.
Si Taxe Ox passait par l inlérieur du corps solide, il faudrait intégrer par rapport à ']/ de ^'^ o à c^=: 2 7r,
Enfin, dans tous les cas, on pourrait changer Tordic des intégrations; ma's les limites des intégrales ne seraient plus les mêiues.
APPLICATIOK.
m. Nous allons appliquer les formules précédentes à la lecherclie du centre de gravité d'un corps homogène, terminé par deux surfaces sphériques concentriques de rayons a et b el par la surface d'un cône droit avant son sommet au centre commun des deux sphères.
Prenons pour origine ce centre et pour axe des x l'axe du cône. Le centre de gravité sera évidemment situé sur cette droite. Nous n'aurons donc que la seule cooidonnée Xi à déterminer au moyen des formules
cl-i / sinÔr/O / r'dr, u «- 0 *y a
Jn2 n n a. rth
' d-h i sin9cos6f/0 / r^ dr. 0 Jo Ja
Or, on a
r^ , b' — a^ rUlr— ,
in Ô £/ 9 := î — cos a = 2 sm ' - a .
donc
On aura en s ai le
1 sinScosô «^0
=: - J SIU 2 9 f/ô rr:
sin^a
=r TTSin'a —
et, en
divisant
(4) pa] ^1 =
3 ^' — rt^ 16 ^- — œ-
sin^a
sia^ - a
ou
7 11 -3 cos^-a-
Si a -
= 0 et a
on trouve
Ainsi, le centre de gravité d'une demi-sphère est situé à une distance du centre égale aux trois iiuitièuies du rayon, comme on le trouverait par la foi^mule du n° 99.
NEUVIÈME LEÇONo jg
