SUITE DE L'ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
Réduction aux fonctions elliptiques des composantes de l'attraction. — Cas d'un ellipsoïde de révolution. — Théorème de Newton. — Cas d'un point extérieur. — Théorème d'Ivory.
RÉDUCTION AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES DES COMPOSANTES DE l'attUACTION.
137. On peut exprimer généralement A, B, C par des fonctions elliptiques de première et de deuxième espèce.
En supposant a<^b <^c, d'où 1 <^ 1', on pose dans les valeurs de A, B, C (133)
X'« = tang<p, c^z=i — —, tangT = l' = i/ ^^ ,
et l'on trouve
Or, on a
3M7 C sin^œr/e
"■ ^ Jq \J i — e^sin^c
d ,— ^ ■ ^ I / , ■ , (?^sin'a)
-— tang w \ji — e^ sm^ q/ = — y i — ^ sm^ cp ^ .
d^ "^ cos'cp v'i-e^sin^cp
Si l'on remplace dans celte formule \j i — e^ sin^co par
1 — (?'= sin^'o
= 5 on trouve
^ i — e^sin'tp
d I 1^ / ;; ^ . lAV.il'-S
— - tangcp y I — e^sm^ij)= y i — é^ i\xi' ^ -\-{\ — c?) " ^ — \
100 CGXJF.S DE MÉCANIQUE.
en intégrant, il vient alors
{ang'ert'tp fangcpvi — e^sin^qi — E((?, ©,
^i — é"' sin'-y '
En posant, conformément à l'usage,
(<?,©)=:/ r/y v^i — t^sin-tp;
r? do
Jo Vl — e SI"'?
on a cle même
y/i — e- sia-ç ^
on a ensuite
fl sin«p cos tp
'''? v^i — e^sin-(j>
fcos'f — sin'tp) (i — c^ sin'tp) -f- e^ sin'ip cos'ep
(i — e'sin^(j/)^
cos-'j) — sin-ip H- e'sin^a.fi — cos^tp)
(i — e^ sin-y)^
cos^(p fi — f?^) sin'©
v/i-e^sin^y (i-e^sin^^f
(i — e'isin^c
I T + — V » — e'sin'ç —
^i-^^sin^^\ ^-/ ^ (i e=sin^
En intégrant, on trouve alors sin^cos^ e^ — i
v/i — e^sin^qi
^ Vf \ / ,x r si"'?<^?
(i — e'sin'cpi
O.NZIÈME LEÇON. JOI
c'est-à-dire
Les formules (i) deviennent alors
et dans ces équations il faut sous-entendre, devant les signes E el F, le symbole
-; -•, arc tang 4/
CAS OU l'ellipsoïde est de révolution.
138. Si l'ellipsoïde est de révolution autour de son petit axe 2a, on a & = c, A' = A. La formule (133)
3Ma Z'' lOda
3 M a r' u}dii A = / :
et donne
(^^ ^= J^(^-^rctang^);
et comme en général
3Mg r^ v}du
on aura pour c =.b
3Mg r ' u'da
On trouve, en effectuant l'intégration,
(4 B = — rr; arc tang). •
Pour avoir la valeur de C , on remarquera que les formules (i3) du n** 134 donnent, en faisant 7! =1,
on aura donc
(5) C= ^ arc tan"> -|»
Les composantes B et C étant entre elles comme les composantes ê et y du point attiré, leur résultante A' sera dirigée suivant la perpendiculaire â abaissée de ce point sur l'axe de révolution et aura pour valeur
3M^ / A = arc tanfîA
439. Si 1 est petit, on développe suivant les puissances de cette quantité, et l'on a
140, Dans le cas de la sphère ). = o, la résultante est — ^ = ^Tia, en supposant le point placé sur l'axe des x.
ONZIÈME LEÇON. Io3
141. Si l'ellipsoïde était de révolution autour de l'axe 2 1, en supposant c = a et b '^ a, on aurait 1' = o, et des calculs analogues aux précédents donneraient
3Mg
i(i + \Ji+y-)
sli-^vy
A__C 3M r' u^dii
THÉOUÈME DE NEWTON»
142. On peut démontrer synthétiquement ce théorème de Newton qu'^/A/e couche homogène d\ine épaisseur quelconque conipn'se entre deux surfaces ellipsoïdales semblables et semblablement placées îi exerce aucune action sur un point intérieur.
Concevons un cône infiniment étroit ayant son som-
Fig. 57.
met au point attiré O. Il intercepte dans la couche deux portions de volumes v-, v' qu'on peut décomposer en tranches ou troncs de cônes par des plans perpendiculaires à l'arête qq' . La niasse de la tranche m/z, située à la distance Om = « du point O, est padu, u étant la section //m; mais a= cou', en nommant co la section faite dans le cône à une distance du point O égale à Tunité. L'attraction de cette tranche sur le point O est
En intégrant par rapport à u depuis u = Op jusqu'à u=: Oq, p et GO étant des constantes, on voit que l'action
Io4 COURS DE MÉCANIQUE,
de t^ est égale à f^.pM [Oq — Op) oiif^podpg. De même, raction de u' esl fp.pttip' q' . Ces deux forces agissent en sens conlraires et se détruisent, car pq = p'q', puisque dans deux ellipsoïdes semblables les cordes parallèles à une même direction ont leurs milieux sur un même plan diamétral. Donc les actions exercées sur le point O par les divers éléments de la couche peuvent se décomposer en actions deux à deux égales et contraires 5 donc elles se détruisent.
143. Ce lliéc^'ème est vrai pour une couclie infiniment mince, et par conséquent pour une couche d'épaisseur finie telle , qu'on puisse la considérer comme composée de couches infiniment minces, comprises entre des surfaces ellipsoïdales concentriques, semblables et semblablement placées, la densité ne variant que d'une couche à une autre.
Si le point O était extérieur, les deux actions exercées par les portions i^ et i^' seraient encore égales, mais elles s^ ajouteraient,
CAS d'un point extérieur, théorème d'ivory.
