DE LA VITESSE DAKS LE MOUVEMENT CURVILTGKE
227. Soit M (:c, y, z) un point qui décrit dans l'es- Fig. 77. pace une ligne courbe CMD.
Ce point doit être constamment sollicité par une force dont la direction change à chaque instant. Si au bout du temps t cette force cessait d'agir, le mobile prendrait, suivant une certaine droite MT, un mouvement uniforme, et c'est la vitesse de ce mouvement uniforme que nous sommes convenus d'appeler la 'vitesse du mobile au point M (15o).
La projection M' du point M sur l'axe Ox se meut d'un mouvement quelconque, qui deviendrait aussi uniforme si la force qui sollicite le point M cessait d'agir.
228. Le mouvement du point M est déterminé par trois équations
au moyen desquelles on peut obtenir la vitesse du mobile en fonction du temps. Pour le démontrer, nous distinguerons deux cas.
En premier lieu, si la force P qui sollicite le mobile est constante d'intensité et de direction, la projection deMK sur l'axe des x sera/\^/H-^ '^ c/^i.^ t.^UM~^ ^ ^..^ J^-
ax^Z-Af ^OU^
vM CCS a
A^^COSÀ,
2 ni
a désignant l'aiigle c|ue la direction de la vitesse fait avec l'axe des x, et X l'angle que la force P fait avec ce même axe. On aura donc
Ai
^tcosl.
DIX-nUITiÈME LEÇON. î65
et, en passant à la limite,
(l) —■ =z V cosa.
dt
Si les axes étaient obliques, on aurait, en décomposant la vitesse u en trois autres, p, q, r, et la force P en trois forces X, Y, Z, suivant les axes,
1 X „ . dx
Ax = pAt-i, At', d ou ---=zp.
2 m dt
Ainsi les composantes de la vitesse suivant les axes s'obtiendront en prenant les vitesses des projections sur ces axes, et l'on aura, dans le cas des axes rectangulaires,
dx ' dt
dt ' '
dz It'
d'où l'on déduira
dx^ -i- dy^ H- dz"
ds^
dt'
~~ 'dt'
d'où
ds '^dt'
en désignant par s la longueur d'un arc comptée sur la trajeçtojje à partir d'un point fixe. Cette formule conviendrait encore si les axes étaient obliques.
229. Quand la force qui agit sur le mobile est variable, on a, en désignant par p. un infiniment petit,
, ,, dx Af- ( d'^x
(4) ^^--l^^'-^-^\-dF^^
La molécule va de M en K, comme un point qui aurait au bout du temps t la vitesse v suivant la tangente MT et qui serait sollicité par une force d'intensité et de direction constante, dont les composantes seraient
d'x d'^y d'^z If
de' ^ ai' ' af- ^
l66 COURS DE MÉCANIQUE.
Cette force diffère infiniment peu de P, si At est très-^ petit-, car si l'on imagine une autre molécule soumise à une force constante P'et arrivant en K, on a
M' P' à.T =: vàtCOSa + COSX.
On déduit de (4)
lim — ou -— =:(^cosa.
A? dt
Les formides sont donc les mêmes que dans le cas où la
force est constante.
Dans tous les cas on a
dt dx ds cosa = — = -— ; — -1 V dt dt
ou
^ ' ds ^ ds ds
donc la vitesse est dirigée suivant la tangente MT.
230. Ces formules peuvent encore être obtenues par la métliode des infiniment petits. Pendant le temps infiniment petit dt, le mobile parcourt sur sa trajectoire un espace infiniment petit ds. On peut considérer son mouvement comme rectiligne et uniforme pendant le temps Ji, puisque la vitesse ne varie qu'infiniment peu en grandeur et en direction. On aura donc
„ , ds
ds = (' dt , d ou (>-~ — - • ' dt
D'ailleurs la direction de la vitesse est celle de l'élément ds ou de la tangente au point M.
