PROJECTION D UN MOUVEMENT RECTILIGNE ET UNIFORME SUR UN AXE
223. Si M est la position occupée par le mobile au Fi„. r6. bout du temps t, sur la droite
AB, et V sa vitesse supposée constante, on aura
AM = vt.
Soit Ox un axe que]conqu(î avec lequel AM fait un angle a, cl soit A'M' la projection de AM sur Ox; on aura
A'M' = AMcosc
fl COSX,
ou bien
vcoscf.t.
Donc la projeclion du mobile sur un axe quelconque se meut d'un mouvement, uniforme^ dont la vitesse p est liée à la vitesse i^ par la formule
p 1= ccosa.
Si l'on projette delà même manière le point mobile sur deux autres axes, O/, Oz, faisant avec AM des angles f3, y, les vitesses yt?, ^, /' des projections sur les trois axes seront données par les formules
(l) /Jr^f'cosa, q =^ V coi^, r = v COSy.
Sturm. — JHéc, I. ^ ^
l6l COURS DE MÉCANIQUE,
Les quantités p, q, r sont nommées les composantes de la vitesse du mobile sur ces axes. On démontre facilement que ces formules conviennent à tous les cas, pourvu que l'on considère p, </, /• comme positives ou négatives suivant c[ue les projections du point M se meuvent dans le sens positif de l'axe ou en sens contraire.
224. Lorsqu'on donnera le mouvement du point M, c'est-à-dire les valeurs de p-, a, (3, y, les équations
fCOSa=/J, <'COSp=<7, CC037:=7'
feront connaître les composantes/?, q^ r. Réciproquement ces composantes étant connues, on en déduira u, a, (3, y par les formules
(2) (>=s/p--^cf-]r'r\
(3) cosa= — 5 ces 3=— 5 COS7 = - •
Si l'on mène par le point O une droite représentant en grandeur et en direction la vitesse du mobile, on voit que les composantes de cette vitesse seront représentées en grandeur et en direction par les arêtes d'un parallélipipède dont la vitesse du mobile serait la diagonale.
225. Soient a, b, c les coordonnées du point A où se trouve le mobile à l'origine des temps, et soient .r, j-, z celles du point M où il se trouve au bout du temps t, le mouvement sera complètement représenté par les trois équations
!xz^ a -^~ pt, j^b-\- qt, Z ^= C -h rt.
En effet, on a
Mais
OM' = ,r, OA' = a, A'M' =pf;
DïX-HUITlÈME LEÇOK. l63
donc
X = « H- pî.
On démontrerait de la même manière les deux autres formules.
On aurait des formules semblables en prenant des axes obliques.
226. On a vu que la projection sur un axe quelconque d'un point qui se meut d'un mouvement uniforme et rectiligne se meut elle-même d'un mouvement unifoi^me. Réciproquement, si les projections cVun point M sur trois axes Ox, Oj, O z se meuvent a\^ec des ^vitesses constantes p, (j, r, le mouvement du point M sera luimême rectiligne et uniforme. En effet, soit A le point où se trouve le mobile quand £ = 05 les projections de la droite AM sur les axes étant pl^ ql^ rt, on a
AM = t \Jp- -i.- (f -K r' ;
de sorte que la distance AM est proportionnelle au temps. En outre, si l'on appelle a, j3, y les angles c[ue la droite AM fait avec les axes, on a
pt qt rt
cosa = -— , cosB:=-— -5 0087:=——
