MOUVEMENT DES PROJECTILES DANS LE VIDE
Soit A le point de départ d'un point matériel pesant, lancé avec une vitesse a dans la direction AI.
Prenons deux axes , l'un Kj vertical et dirigé en sens inverse de la pesanteur, l'autre horizontal A>r, mené dans le plan lÂj^ Comme le mobile n'est sollicité, pendant tout son mouvement, que par la pesanteur, il doit se mouvoir dans le plan lAj', car il n'y a pas de raison pour qu'il s'écarte d^un côté de ce plan plutôt que d'un autre. Les équations différentielles du mouvement se réduiront donc, dans ce cas, aux deux suivantes :
210o L'intégration de la première équation donne
ck
La constante C est égale à la composante horizontale de la vitesse, c'est-à-dire à a cosa, a étant l'angle IKx : on a donc
dl
= a ces a.
La seconde équation du mouvement donne (4) —=:= a sma — gty
en déterminant la constante par la condition que l'on ait
tir . .
-^— = a sin« pour t = o.
Intégrant de nouveau les équations (3) et (4)^ et ayant égard à la condition z = o, jy = o pour i = o, on aura enfin
(5) X = rtfCOSa,
(b) r = «fsina »
La première montre que la projection du point mobile sur l'axe Ox se meut d'un mouvement uniforme dont la vitesse est acosa. La projection sur l'axe O y se meut d'un mouvement uniformément retardé, comme ferait un mobile lancé de bas en haut avec une vitesse initiale égale à a sina.
241. En ajoutant les équations (3) et (4) élevées au carré, on trouve
v^ z^ a} — 2 agt sin a -t- g'^ t"^ ou
(7) v'' = a' — igy.
242. Pour connaître la courbe que décrit le mobile, il faut éliminer t entre les équations (5) et (6), et l'on
y =^x tanga —
SX'
ou, si l'on pose, pour simplifier, a^ = ^g^/z, (8) j = ^ taûga — y-= ^•
Cette trajectoire est donc une parabole^ dont l'axe est vertical.
243. Pour déterminer la position du sommet C, mettons l'équation (8) sous la forme
4/icos^ajr — ^hxsïnixco^ot. -{- x'^z= o^
inQ COURS DE MÉCANIQUE.
OU, en complétant îe carré et transposant,
(.r — ih sina cosa)- = ^/i cos-« {/i sin^a — j) =
Donc si Ton pose
/zsin-a — ■r=y',
X — ih sina cosa = .x' , l'équation de la parabole prend la forme
(g) ^'^= 4/' cosa j',
et la courbe se trouve rapportée à son axe de figure
comme axe des ordonnées et à la tangente au sommet
comme axe des abscisses. Les coordonnées du sommet
sont donc
AE = 2/i sina cosa, '- 9^2.V-
EC = // sin-a.
