DIFFÉBENTIELLE DE LA FORCE VIVE

260. P désignant la force motrice qui sollicite un mobile M et X, Y, Z ses composantes, on a

(0 '"-TT=X> ^~Tr=^*^y m--r--=Z.

^ ' dO dt^ dt*

On tire de ces trois équations •

( -^^ j =ri(\dx^Ydx^Zdz).

Mais la quantité entre parenthèses dans le premier membre est égale à ^.^'^ on a donc

{^) d.nn^=!i{Xdx-^Ydf -{-Zdz).

261. Cette équation subsiste, lorsque le point mobile esi a.ssujetii à rester sur une courbe ou sur une surface donnée. En effet, si N est la force qui représente la résistance de la courbe ou de la surface, on a

m —7^ = X H- N cosX, di^

<2) ^m^=:Y+Nc6sp,

M -7— = Z 4- N cosv, dO '

iga COURS DE MÊCÀSIQUE.

Ij |ui, V étant les angles que la normale suivant laquelle la

force N est dirigée fait avec les axes. Oo tire de ces équa-

tions

dmv^ = 2 ( Jidjc -4- Ydj -+- Zdz)

2N (cos'kf/x -h cosiidjr -h cosvf/s};

mais puisque N est normale a la trajectoire, la dernière parentbèse est nulle. Celte équation se réduit doue â Téquation (2).

262. La quantité m^*, ou le produit de la masse d'un mobile par le carré de sa vitesse, est ce qu*on appelle la force vive du mobile. On a dans tous les cas

(4) d i nw^ .— yidx 4- Yr/r 4- Zdz,

X, Y, Z étant les composantes de la force motrice.

AUTRES FORMES DE X^X +• Y r/^' -+- Z//^.

263. S«it Cl) Tangle PMT que la force motrice P fait Fief. 8g. avec la tangente. On

^ Hdx X dr Z dz

COSU = —- •-; h -;r -7 h - -r »

1^ ds P ds ? ds

d'où Ton tire

(i) Xate -+- Y^r 4- Zdz = Pcos<ki£/x.

Si Ton décompose la force P en une force tangentielle T et une force normale Q, on a T = P cosci). Donc

(2) ILdx 4- Ydy 4- Zdz = Tds.

Enfin, si Ton appelle dp la projection IVII de Tare MU = ds sur la direction de la force motrice, on a

cos^ ds = dp y et par suite

(3) Xdx 4- Ydjr 4- Zdz = Pdp.

Ainsi Texpression Hdx -i-Y djr -h Zdz est égale : i® au produit de la force motrice P multipliée par Téiément de la trajectoire et par le cosinus de Tangle que cette force fait avec la tangente; 2^ au produit de rëlémenl de Tare multiplié par la force motrice estimée suivant la tangente ; 3° au produit de cette force motrice multipliée par la projection de l'élément de Tare sur sa direction.

DÉFINITION DU TKAVÀIL.

264. Le produit Tds que Ton obtient en multipliant la composante tangentielle de la force P par Télément de Tare parcouru dans l'instant dt se nomme trav^ail élémentaire ou élément de tras^ail de cette force, L'élémeut de travail est considéré comme positif lorsque la force tangentielle agît dans le sens du mouvement, et comme négatif dans le cas contraire, ou, ce qui revient au même, suivant que Tangle o) est aigu ou obtus. Le signe du travail élémentaire sera donné par l'expression Vco^îùds^ en considérant V eids comme positifs.

Si Ton considère Pcoswrfs comme le produit de P par costùds^ on peut dire encore que le travail élémentaire est égal au produit de la force par la projection de Télément du chemin parcouru sur la direction de cette force.

265. Dans tous les cas, la projection d'une résultante sur une droite étant égale à la somme des projections de ses composantes, on voit que le travail élémentaire de la résultante de plusieurs forces est égal à la somme algébrique des travaux élémentaires de ces dernières forces.