Dans le cas général , Téquation

représentera une infinité de surfaces différentes, passant

par les divers points de la trajectoire AMB. Nous allons démontrer que si LMU est Tune de ces surfaces, la force motrice P au point M lui est normale.

En eflet, la normale à la surface LMU au point M fait avec les

axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à

àf df df . , 11 A

^ï ^> -j-; or ces quantités sont elles-mêmes proportionnelles à Xy T, Z, ou aux cosinus des angles que la force P fait avec les axes. Donc la force motrice est normale à la surface LMU.

C'est ce que Ton vérifie dans l'exemple précédent où les surfaces analogues ày(x,j^, z) = C sont des plans horizontaux perpendiculaires à la force motrice qui agit suivant la verticale.

Si la surface /* (x, j^, z) = C offrait une résistance indéfinie, et si le point mobile se trouvait placé sur cette surface sans vitesse acquise, il y demeurerait en repos, puisque la force motrice serait normale en ce point à la surface. C'est ce qui arriverait pour un point matériel placé sans vitesse sur un plan horizontal.

CAS ou IL Y A UNE RÉSISTANCE.

273 . Quand un mobile éprouve un frottement ou se meu t dans un milieu résistant, Texpression X dx -f- Yr(^' + T^dz n'est plus une différentielle exacte. En effet, s'il y a frottement, cette force s'exerce suivant la tangente à la

igS COURS DE MÉCÂNfQUE.

trajffctoîre et en sens inverse du mouvement du mobile; elle est proportionnelle à la pression normale N du mobile sur la courbe qu'il décrit. Le frottement est donc représenté par — yM, y* étant an coefficient constant. Ses composantes seront

et Texpression

sera la partie de ILrIx -{- Y dj -j- Zdz provenant du frottement. Or la pression N est inconnue au point considéré et ne dépend pas uniquement de Tare parcouru. On ne peut donc pas dire que — fNds, et par suîie que Hdx-hYdy-^Zdz^ soit, dans ce cas, la dinérenlielle exacte d'une fonction de x^jr^ z.

274. Quand le mobile se meut dans un milieu résistant, la résistance de ce milieu est une certaine fonction y (i^) de la vitesse, et la partie de cette force qui entre dans X^jr H- Ydj + Tàdz est, par un calcul analogue à celui que nous venons de faire, — f(^) ds. Or la vitesse i^, ei par suite y (i^), ne dépendent pas des difféi^entielies de Xj y^ z, et par conséquent — f[y^ ^s n'est pas une diflerentielle exacte, non plus que X//x -+- Ydj -f- Zdz.

Dans ce cas, si le point se meut sur une courbe connue, il faudra prendre l'équation

m-f—T ou m -, - z=: T,

T désignant la composante de la force motrice (y compris les résistances) suivant la tangente. An moyen des équations de la courbe on pourra exprimer T en fonction de j, et alors la détermination du mouvement sera ramenée à l'intégration d'une équation différentiel le du second ordre, tandis que si X^x -H Ydj H- Zdz était une dillé-

VIHGT ET UNIÈMS LEÇON. I99

rentielle exacte, on n'aurait à intégrer qu'une équation (liflerentielle du premier ordre.