Lorsqu'un point pesant se meut sur une courbe

donnée A MA', la seule force P qui le sollicite est la pesanteur, dont Tintensité constante est désignée par g. Le travail de cetie force est mgz^ et le principe des forces vives donne inimédialement

;'=iXaH-2g' (« — /<),

en supposant que v =^ k pour z = OH = A.

Supposons A = o, c*esi-à-dirc que le mobile parte du point A sans vitesse acquise, Téquation deviendra

(a) 9'—'hg[t — h).

Si le mobile est en M, on aura

BP=:z — /i, p'=2^HP:

donc la vitesse acquise par le mobile au point M sera la même que s'il était tombé librement de la hauteur HP.

Si B est le point le plus bas de la courbe, le mobile aura la plus grande vitesse en ce point. Parvenu là, il continuera sa route en vertu de la vitesse acquise, et

aoa COURS DE MÉCAlYIQtJE.

s'élevant sur la partie 6C avec un vitesse décroissante» comme le montre la formule (a), il s^arrètera au point A', pour lequel z = h. Mais aussitôt, sollicité par la pesanteur, il descendra de nouveau sur la courbe pour revenir au point A, et ainsi de suites c'est-à-dire qu'il parcourra continuellement le même arc ABA', tantôt dans un sens, tantôt dans un autre.

278. Le temps employé par le mobile pour parcourir Tare AM est le même, soit qu^il descende, soit qu^il monte, car si Ton considère un élément rectiligne ds de cet arc, comme la vitesse du mobile est la même en valeur absolue, quand il est placé à la même hauteur, le temps employé pour parcourir le petit plan incliné ds sera aussi le môme, soit que le mobile descende, soit qu'il monte.

CAS ou LE MOBILE A UNE VITESSE iniTIALE.

279. Si au point A, pour lequel 2 =: A, le mobile a une vitesse A*, on a

La vitesse du mobile va en croissant avec z et est la plus grande possible au point B. Le mobile se meut ensuite sur l'arc BCO et s'y élève plus haut que le point A'.

Prenons pour origine des coordonnées le point O le plus élevé de la courbe. Nous aurons trois cas à examiner.

Premier cas : k* <^2gh, — Dans ce cas la vitesse du mobile au point A est moindre que celle qu'il acquerrait en tombant verticalement de la hauteur OH=:/i. Le mobile s'élèvera jusqu'à «n point C plus haut que A' et qui sera déterminé par l'équation

» = OInr^ =:-^ ,

TIVGT-DEtJXfbifE LEÇON. 203

valeur positive. En ce point C la vitesse sera nulle-, le mobile s'arrêtera pour revenir sur l'arc CBC jusqu'au point C situé à la même hauteur que C. Ue C il revien-> dra en C, et ainsi de suite ^ de sorte qu'il fera une infinité d'oscillations isochrones.

Deujcicme cas : k > sj'^gh. — La vitesse du mobile ne sera jamais nulle, car on aura

équation dont le second membre est composé de deux quantités positives. Le mobile reviendra au point O avec

la vitesse ^A* — a gA , dépassera ce point et parcourra la courbe une infinité de fois, toujours dans le même sens.

Troisième cas : k = ^igh, — On aura z = o pour 1/ = o ; le mobile ne s'arrêtera qu'au point O, mais il lui faudra un temps infini pour arriver à ce point. En effet, en désignant par s l'arc ON, on a

y étant l'angle que la normale au point N fait avec la verticale et p le rayon de couibure en ce point, on a

(is cosv

(is p

Soit a une constante.

telle que

COSV

CD aura

(is I as a

dz tis

a 2ac

2to4 COURS DE MÉCANIQUE.

Par conséquent rëquaiîon (3) donne TinëgaUté

£V^ry/f>o, d*oà, en intégrant,

ou enfin

d'où Ton conclut que t augmente indéfiniment quand 5 tend vers zéro.