Comme la formule

— rrrlQ

n^est pas intëgrable dans tous les cas, il est nécessaire de restreindre un peu la généralité du problème en cherchant seulement la loi du mouvement quand le pendule eHectue de très-petites oscillations de part et d'autre de la verticale Oz. Eu premier lieu on ne diminuera pas la généralité du problème en supposant nulle la vitesse- du. mobile au point Â; car si elle n'était pas nulle en ce pointy il suffirait d*augmenter Tangle a d'une certaine quantité pour avoir le point où celte vitesse est nulle, et c^est ce point que Ton prendrait pour le point Â. Si donc on fait h = o, la formule (i) se réduira à

/a dB (2) dtz=z — 4/ - >

V ê'v^2CosO — 2C0Sa

Remplaçons maintenant cosO et cosa par leurs développements eu séries, et comme les angles a et d sont trèspetits, négligeons les puissances de ces quantités à partir (le la quatrième. Il vient alors

d'où

et

cosG = i 9 COSa 1=: I 9

2 cosO — 2 cosa -- a? — 6'

ao8 COURS DE MÉCANIQUE.

d'où, en intégrant,

(3) /= 1/ - arccos—

Nous n'ajoutons pas de constante, parce qu'on doit avoir 0 = a pour t = o.

La formule (3) donne

(4) e^acos^ry/^j,

expression de Tare décrit pendant le temps U

283. Pour avoir la durée T de la première oscillation (et l'on sait déjà que les oscillations sont isochrones, quelle que soit leur amplitude), il faut faire dans l'équalion (3) 6 = — a, d'où il résulte

arccos( — i).

Lorsque nous avons supposé que l'équation (3) donnait simultanément £ = 0, 6= a, nous avons admis tacitement que nous choisissions o pour Tare dont le cosinus est Tunité. Or, pendant la première oscillation, quand Tangle 9 varie d'une manière continue àed = oLkO= — a, le temps t croit d'une manière continue, ce qui exige

que arccos ~ croisse aussi d'une manière continue; mais

au départ cet arc est o : donc, à la fin de l'oscillation,

on ne peut le prendre égal à 3?:, à Stt,..., arcs qui ont

* tous — I pour cosinus, mais à tt. On a par conséquent

(5) ^=Vi

Ce résultat fait voir que le temps de l'oscillation ne dépend pas de a, et par conséquent que la durée d'une oscillation est indépendante de son amplitude, pourvu que celle-ci soit très-petite.

VIIÎGT-DEUXIÈME LEÇON. 209

Le temps d^une demi-oscillation se trouve en faisant

e = G dans la formule (3), on obtient - i/- ou - T, résuUat facile à prévoir.

284. Les résultats précédents s'étendent aux oscillations d^un point pesant, écarté très-peu de la verticale et

assujetti à se mouvoir sur une courbe dont le plan osculaleur au point le plus bas 6 est vertical. En ed'ct, le cercle osculateur au point B se confondant avec la courbe, dans une étendue très-petite, le mouvement aura lieu, de part et d*autre du point B, comme sur le cercle osculateur de la courbe en ce point. Dès lors la durée commune de

chaque oscillation sera ^ l/-> p étant le rayon du cercle osculateur ani point B.

285. Si le plan osculateur de la courbe au point B le plus bas faisait un angle i avec le plan horizontal ZV,

Fig. g6. il faudrait décomposer le poids

P en deux forces. Tune normale au plan ZU et qui serait détruite par la résistance de ce plan, Tautre Q = gsini, située dans ce plan et qui seule ferait mouvoir le mobile, force d'ailleurs constante en grandeur et en direction. On aura donc le temps d'une oscillation en substituant, dans la

formule T = tt i/-9 p k a et g sini à g, ce qui donne