Masse d'une planète dépourvue de satelutes. — On a

m On tire de cette équation — 1 ou le rapport de la masse de la planète à celle do la terre.

FIN du premier volume

STATIQUE (I'* ParUe).

1. Position d'équilibre d'un point attiré vers des centres fixes par des forces proportionnelles à la distance. SG.

2. Position d'équilibre d'un point attiré vers les trois sommets d'un triangle par des forces constantes qui sont entre elles dans les mêmes rapports que les côtés du triangle opposés aux sommets dont elles émanent respectivement. SG.

3. Un fil inextensible et sans poids est fixé à ses extrémités Â, B et porte un petit anneau pesant C; un autre fil a aussi une extrémité fixée en A, passe dans l'anneau G et porte un poids à sa seconde extrémité, qui est libre : figure d'équilibre du système. PJ.

4. Position d'équilibre d'un point attiré vers des points fixes d'un plan par des forces inversement proportionnelles aux distances. En déduire la position d'équilibre d'un point pesant attiré vers deux points fixes égaux, situés sur une horizontale, les attractions étan^ réciproques aux distances. SG.

5. Un fil sans masse est attaché à une de ses extrémités A; h porte un poids P, fixé sur lui à une distance connue de A, puis il passe sur une poulie très mobile située à la môme hauteur que A et porte à sa seconde extrémité libre un poids Q : figure d'équilibre du système. SG.

6. Un fil qui passe sur une poulie très mobile porte à ses extrémités deux poids dont l'un est libre, l'autre repose sur un plan incliné poli : figure d'équilibre, tension du fil, charge du plan. PJ.

(') Lc3 problèmes qui se trouvent développés dans le Recueil d*eiercices do M. de Saint-Germain sont suivisde l'indication SG., ceux qui sont ti ailés dans le Recuiùl du P. Jullien sont désignés par les initiales PJ.

3lO ÉNONCÉS DB PROBLÈMES.

7. Un poids est assujetti à rester sur une ellipse polie dont un axe est vertical et exerce sur le poids une action répulsive horizontale, proportionnelle à la distance du point à Taxe; position d'équilibre, pression sur la courbe. SG.

8. Position d'équilibre d'un petit poids assujetti à rester sur une hélice dont Taxe est vertical; un point de cet axe exerce sur le point mobile une répulsion réciproque au carré de la distance. SG.

9. Position d'équilibre d'ua point pesant placé sur un ellipsoïde dont un axe est vertical et dont le centre attire le point avec une intensité constante. SG.

10. Quand un point sollicité par des forces connues est placé sur une courbe ou une surface telle que le point y soit partout An équilibre, on peut appeler ces lieux courbes ou surfaces de niveau. Cela posé, on propose de déterminer : i"* dans un plan vertical, une courbe de niveau pour un point pesant repoussé d'une verticale de ce plan par une force horizontale, proportionnelle à la distance du point à Taxe ; 2* sur une sphère, une courbe de niveau pour un point pesant attiré vers l'extrémité d'un diamètre horizontal par une force réciproque au cube de la distance; 3^ une surface de niveau pour un point pesant sollicité par une force constante qui passe par un point fixe. SG.

li . Deux points pesants sont posés sur deux plans inclinés dont l'intersection est horizontale; ils sont réunis par un fil qui passe sur une petite poulie très mobile située au-dessus de l'intersection : position du système quand il est près de glisser dans un sens ou dans l'autre. PJ.

12. Un point pesant repose sur un plan incliné dépoli : quelle est l'intensité de la force qu'on doit appliquer au point dans une direction quelconque donnée pour le faire glisser? Discussion. SG.

13. Un point pesant est placé sur une parabole dont l'axe est

vertical, la convexité tournée vers le haut, et qui exerce un frotte-

ment dont le coefficient est -z \ le point est attiré vers le foyer par

une force réciproque au carré de la distance et qui serait égale au poids si le point était au sommet : quel est le point de la parabole où le glissement est près de se produire? SG.

14. Sur un paraboloVde x/=r7z, l'axe des z étant vertical, repose un point qui, outre son poids P, est sollicité par une force

ÉNOrrCÉS DB PROBLEIIES. 3l I

hoitzontale dont les projections sur l'axe des x et l'axe des x sont

Pj: Pr

— » —^ j et la surface du paraboloïde est dépolie : lieu des points

où le mobile est près de glisser dans le sens de la pesanteur. SG.

15. Plusieurs forces parallèles sont appliquées en des points donnés : montrer que, si l'un des points d'application se déplace suivant une certaine courbe, le centre des forces parallèles décrira une courbe homothétique. Horloge magique. PJ.

16. Trois hommes doiv^t porter une plaque homogène ayant la forme d'un parallélogramme ABCD, A et C étant opposés ; un des hommes soutient la plaque par le sommet A : trouver sur CB et CD deux points tels que, si les deux autres porteurs les soutiennent, les trois honmies seront également chargés. PJ.

17. Aux quatre sommets d'un tétraèdre on applique des forces parallèles et proportionnelles aux aires des faces opposées : point d'application de la résultante. SG.

18. Aux sommets d'un triangle ABC on applique trois forces parallèles respectivement égales : i"* à tangA, tangB, tangC; a*" à

sinA sInB sinC ^ i * j i

— -, — -, — : trouver le centre des deux sys-

cosBcosC cosCcosA cosAcosB ^

tèmes de trois forces, le centre des six forces parallèles, et du ré*

Sttltat obtenu déduire que le centre du cercle circonscrit à ABC, le

point de concours des hauteurs et celui des médianes sont en ligne

droite. Applications de la Statique à la démonstration de théorèmes

de Géométrie. SG.

19. Un vase hémisphérique très mince repose par sa partie convexe sur un plan horizontal et porte deux poids donnés aux extré^ mités de deux rayons perpendiculaires : position d'équilibre. SG.

20. Décomposer une force en trois forces parallèles appliquées en des points donnés. Où doit-on placer trois poids connus sur une circonférence pour que leur résultante soit appliquée au centre du cercle? SG.

21. Une table parfaitement rigide est portée par plus de trois pieds qui reposent sur un plan horizontal indéformable : la table étant chargée d'un poids, déterminer les charges des différents pieds, en ■admettant que ceux-ci se raccourcissent de quantités très petites et proportionnelles à la charge qu'ils supportent. SG.

2à. Le centre de gravité d'un polyèdre circonscrit à une sphère,

3ia ÉNONCÉS DB PROBLÈMES.

lo centre de gravité de la surface polyédrale et le centre de la sphère sont en ligne droite. PJ.

23. Centre de gravité d'un arc de sinusoïde, de Tare qui forme une demi-boucle de la lemniscate de BemouUi. PJ.

24. Centre de gravité d*un arc de chatnette homogène, d'un arc de cardioîde (r =» a + a cos9), d'un arc d'hélice dont Taxe est Taxe des z et la densité représentée par e-*^*, SG.

25. Déterminer une courbe plane passant par l'origine, de manière que la densité de l'arc soit représentée par une fonction f(s]^ s étant la longueur de Tare à partir de l'origine, et l'ordonnée du centre de gravité de cet arc entier s soit égale à ^{s)\ cas où

f{s) = flJ»», f (5) = a5^ SG.

26. Centre de gravité de l'aire comprise entre la cissoTde et son asymptote, de Taire circonscrite par la courbe J^^a bt[a — j:), d'un secteur parabolique compris entre la courbe et deux rayons vecteurs issus du foyer, de l'aire comprise entre une branche de sinusoïde et l'axe des x. PJ.

27. Centre de gravité de l'aire comprise entre un arc d'ellipse, le diamètre qui aboutit à une extrémité de l'arc et la corde conjuguée passant à l'autre extrémité ; en déduire le centre de gravité d'un segment parabolique. SG.

28. Centre de gravité d'une demi-boucle de la lemniscate de Bernoulli. SG.

29. Déterminer une courbe plane telle que le centre de gravité de l'aire comprise entre la courbe, les axes et une ordonnée x = A

ait pour abscisse 7 • SG.

30. Établir la relation qui existe entre les aires .de quatre triangles ayant pour bases les côtés d'un quadrilatère, et pour sommet commun le centre de gravité de l'aire du quadrilatère. SG.

31. Centre de gravité d'une zone de paraboloïde de révolution limitée par un plan perpendiculaire à l'axe, delà surface d'un hémisphère où la densité en chaque point est proportionnelle à sa distance à la base. PJ.

32. Considérons l'enveloppe de la surface représentée par l'équation