Les six équations

X^Of r = o, Zr^O,

sont vérifiées dans l'état d'équilibre d'un système quelconque.de forces, lors même que ses différents points ne seraient pas liés les uns aux autres d'une manière invariable^ comme par exemple si un point était lié à un autre par un cordon inextensible. Dans ce cas, les équations d'équilibre sont toujours vérifiées (*); car si Ton

(*) On doit cependant apporter certaines restrictions h cette assertion, oorome nous lo verrons plus loin» lorsque nous parlerons du mouTcment des systèmes dont les liaisons varient avec le temps.

VIKGT-RUITIÈMB LEÇON. I9

solidifie le système, c'est-à-dire si Ton fixe les diflerents points de manière que leurs distances mutuelles restent invariables^ l'équilibre ne sera pas troublé et par conséquent les forces immédiatement appliquées à ce corps satisferont aux six équations. Mais ces conditions ne seront plus sufGsantes pour assurer l'équilibre, et il faudra y joindre de nouvelles équations qui dépendront du mode de liaison des différentes parties du système.

20 COUnS DE M£CAlfIQi;B.

VINGT-NEUVIÈME LEÇON

SUITE DE LA COMPOSITION ET DE L*ÉQDIUBRE DE FORCES APPLIQUÉES A UN SYSTÈME DE FDHME INVARL\BL£.

Cas d'une résultante unique. — Cas d^un point lixe. — Cas d'un axe fixe. — Équilibre d^un corps qui repose sur un plan fixe par un ou plusieurs points.

CAS d'une HÊSULTIHTE USTIQUE.

369. Quand il y a une résultante unique, on sait que le résultante R des forces transportées parallèlement à clles-nièmes au point O doit être parallèle au plan du couple résultant, dont nous avons désigné le moment par G. Les cosinus des angles que la résultante R fait avec les axes sont '

et les cosinus des angles que le momen/ linéaire du couple résultant fait avec ces mêmes axes sont

Il suffit évidemment d'exprimer que la force R et la direction du moment linéaire sont perpendiculaires entre elles, ce qui donne

(i) ;irL-f-rM-t-ZN=:o.

Cette équation exprime que les forces se réduisent à une force unique poiu*vu que JT, JT, Z ne soient pas nulles à la fois, sans quoi le système se réduirait à un couple, et il n*y aurait pas de résultante unique.

370. Ou peut encore arriver à ce résultat d'une autre manière et déterminer en même temps la position de la

VINOT-IVEUVlkME LÏÇON. ÛI

droite suivant laquelle agît la résultante. Introduisons uDe force Ri égale et directement opposée à la résultante, le système sera en équilibre. Par conséquent, si X|9 T|, Zi sont les composantes de Bi et .T], /i, Z|, les coordonnées d'un point quelconque de sa direction, on aura

(2) JT-i-X, = 0, r-hY. = 0, Z4-Z,=:o

et ensuite

IZi^i — Y, «, -4-L =:*o, X,», — Z,x, -f-M — o, Yjx, — X,/, -hPî =0.

Les trois premières équations donnent

Xi ^=^ — J» , X 1 1:^ — T^j Z| "^^^ — " Z.

On retrouve ainsi ce résultat connu que la résultante unique des forces proposées est égale et parallèle à la force R et qu'elle agit dans le même sens.

On a ensuite les équations (3) pour déterminer oT], ^1, Tf Mais on voit à priori que Ton ne trouvera pas de valeurs déterminées pour ces trois inconnues, car, s'il y a une résultante, on doit pouvoir transporter son point d'application en un point quelconque de sa direction. Ces trois équations doivent donc se réduire à deux et à une équation de condition. En effet, à cause de X, = — Xj Yj = — y^ Zi = — Z, on peut écrire ces équations ainsi :

ITz, — Zj, -4-L -o, Zx, — Xz, -f jM --0, Xf,— Tx, 4-N=o.

Puis, si on les ajoute membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par X, JT, Z, on aura

JTL-i- rM-4-ZN = o, équation déjà obtenue. Si elle est vérifiée, deux des trois

aa GOUnS 1>B MÉCAMQUB.

équations (4) seront les équations de la droite suivant laquelle agit la résultante.

CAS d'un point fixe.

371 . Soit O le point fîxe. En y transportant toutes les forces, on obtiendra une résultante R et un couple (S, — S). La résultante est détruite par la fixité du point. Quant au couple (S, — S), il doit être nul : car, en transportant le couple parallèlement à lui-même jusqu'à ce que la force S vienne passer par le point fixe, celte force S serait détruite et la force — S aurait tout son effet. Donc le moment du couple (S, — S) est nul et la pression qu'éprouve le point fixe est égale à la résultante de toutes les forces transportées parallèlement à ellesmêmes en ce point.

372. On peut encore obtenir ces conditions en introduisant la résistance Ri du point fixe. Soient Xi, Y|, Zi les composantes de la force R| : puisqu'il y a équilibre, on aura