X-+-X, -i-Xjrr^O

rn-Y. -t-Y,=--:o,

Jb —f- Z| -f- 2} r=~ O ,

La dernière équation est la seule condition d^équilibrc déjà trouvée. Quant aux cinq autres, elles feront connaître les résistances des points O et H ou les pressions qu'ils supportent. On en tire

X| = — A -h -ry y I = — y — r»

Li\ ~T" £â^ —— ~~' eu*

Ces équations déterminent Xi, Xs, Y, et Y^, mais elles ne donnent que la somme Zi + Zt des composantes parallèles à Taxe des js, ce qui doit être; car, s'il y a 'équilibre, les deux forces Zi et Zs qui agissent suivant la même droite, peuvent être appliquées au même point O, et l'on peut partager leur somme en deux parties quelconques appliquées aux points O et H.

ÉQUILIBRE d'un CORPS QUI REPOSE SUR UN PLAN FIXE.

377. Supposons un corps pressé contre un plan en un de ses points par une force, passant par ce point et normale au plan; ce corps sera en équilibre, car il n'j a pas de raison pour qu'il se. meuve dans une direction plutôt que dans une autre.

VIHGT-HEUVrèME lEÇON. a5

Si la force, au lieu d'être normale au plan, lui était oblique, on pourrait là décomposer en deux autres, Tune normale et Tautre située dans le plan. La première ne ferait qu'appuyer le corps sur le plan et la seconde aurait tout son effet pour le déplacer. Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour Véquilibre est que la force qui passe par le point de contact soit normale au plan. La même conséquence s'appliquerait au plan tangent, si le corps était pressé contre une surface courbe par une force qui passerait pap le point de contact.

378. Supposons maintenant qu'un corps M, sollicité par plusieurs forces P, P', P'^, . . . , repose par un de ses

Fiç. 126. points A sur un plan IL ou sur

une surface dont IL serait le plan tangent au point A. Concevons qu'il y ait équilibre. Si l'on ôtait le plan, le point A se mouvrait dans une certaine direction, et en appliquant suivant cette direction une force déterminée, on rétablirait l'équilibre. Cette force peut donc remplacer la résistance du plan, et elle doit être égale, puisqu'il y a équilibre, à la résultante des forces P, P', P", . . . . Donc il faut que celles-ci aient une résultante unique, normale au plan et passant par le point d appui.

379. On est conduit à une conséquence analogue, quand le corps M repose par différents points A, B, C,...

sur plusieurs plans ou surfaces fixes, comme par exemple une table supportée par trois pieds. Si l'on ôtait le plan p^ l'équilibre serait en général détruit, mais on le rétablirait en appliquant au point A une force convenable dans la direction que ce point prendrait immé-

Fij;. 07.

d6 COUKS DE MECANIQUE.

diatement. Cette force peut donc remplacer la résistance du plan p \ de même deux autres forces appliquées aux points B et C peuvent tenir lieu des résistances des plans p' et p*'. Si Ton joint ces deux dernières aux forces données P, P', P", . . et qu'on regarde le corps M comme appuyé seulement sur le plan p par le point A, la résultante de toutes les forces passe par le point A et est normale au plan p \ par conséquent la résistance de ce plan lui est elle-même normale. Le même raisonnement s applique aux résistances des plans p' et p".

380. Voyons ce que deviennent les équations d'équilibre dans le cas d'un corps pressé contre un plan xOy ou Fig. 128. contre une surface dont xO/ se-

rait le plan tangent au point 0.

Prenons ce plan pour celui des ocy et le point O pour origine. La résistance du plan équivalant à une force normale Zi, nous aurons d'abord

et comme Z, n'introduit évidemment aucun terme dans les équations des moments, on aura

Ces trois équations expriment que le système des forces se réduit à une force unique, et les deux premières que cette force unique est normale au plan et passe par le point O. Quant à l'équation Z -f- Z, = o, elle indique que la résultante est la pression supportée par le plan. Il faut, en outre, que la résultante appuie le corps sur le plan, c'est-à-dire qu'elle soit négative. On devra donc joindre aux cinq équations d'équilibre Tinégalité

VI5GT-NBUVIÈME LEÇOlf. '27

381. Imaginons maintenant que le corps repose sur le plan xOj par deux points O et H. Prenons OH pour

Fig. lag. axe des x. Remplaçons la l'éàis-

j I ta n(:e du pi an fixe par deux forces

2, z, . normales Zi, Z^. Puisqu'il y a

/^^^^^\ équilibre, la résultante Zi -H Zj

'^^ ^ de ces deux forces, laquelle a son

point d^ application entre Oet H, ^ doit être égale et contraire à la

résultante de toutes les forces données. Il faut donc que celle^i soit normale au plan et qu^elle ait son point d'application entre O et H.

En posant OH r= A, les six équations d'équilibre donnent

X"o, r — o, z-hZ, -<-z, = o,

Lz=rO, M— Z,/lnzO, N = o.

Quatre de ces équations expriment les conditions que doivent remplir les forces données; les deux autres font connaître les inconnues et donnent

382. Si le corps repose sur le plan xOjr par un nombre quelconque de points d'appui A (Xi.jr^)^ B (o:,, j,), G, D, • . . , la résistance du plan en ces divers points équivaudra à des forces normales Zi,Zt,Z8,...

qui y seraient appliquées ; il faut

D * ' donc qu'il y ait une résultante unique et tombant dans Tintérieur du polygone ABCDA. Dans ce cas, les équations générales se réduisent à

X=zO, r=:0, Z-hZ, -4-Zj -^. . . r^O,

M — Z| Xi Z] JTi — . . . = Oy

a8 COURS DE MÉGANIQUE.

On a dono seulement trois équations d'équilibre X=o^ jr= G, N == G. Les trois autres équations font connaître les pressions du plan aux points d*appui. On voit que sMl y a trois points d^appui, les pressions Zj , Zf, Zs seront déterminées; mais si le corps repose sur le plan xOj par plus de trois points, le nombre des inconnues surpassera le nombre des équations et le problème sera indéterminé.

En réalité dans chaque cas particulier la pression sur chacun des points d'appui sera déterminée; mais cette pression ne pourra pas être calculée par Tanalyse précédente; seulement, ce que Ton doit conclure des formules que nous venons de démontrer, c'est qu il y aurt équilibre si elles ont lieu, et réciproquement elles sont nécessaires pour l'équilibre.

Observons enfin qu'il n'existe pas dans la nature de corps parfaitement solide et que les forces Zi, Zi ,. . . dépendront généralement de la constitution du corps donné. Quoi qu'il en soit, il est utile d'étudier le cas hypothétique du solide parfait, parce que les conditions d'équilibre des corps naturels se ramènent à celles des solides parfaits.