D'après son équation
= !L{Ji^,-j),
la chaînette est symétrique par rapport à Taxe des j^.
TREKTE-DETJXIÈME LEÇON. 5l
En comparant les équations différentielles avec celles qui résultent de leur intégration, on trouve
ds
d'où
En voici l'interprétation géométrique :
La première signifie qu'en chaque point M de la chai-
Fig, ,3g. nette, la projection MK de
^ l'ordonnée de la courbe sur la
normale MN est constante et
n/ égale à A. En effet,
MK=rcosPMK=:r
dp
L'équation (3) exprime que la projection MI de l'ordonnée sur la tangente MT est égale à Tare 6M, compté à partir du point le plus bas de la courbe. En effet
MI=::IPtangT=:/iî^;
dx
df Jt
mais ~f- =z~ : donc dx n
(5) MI = s.
Enfin l'équation (4)9 conséquence des deux autres, signifie que la longueur désignée par A, l'arc MB et l'ordonnée y forment un triangle rectangle dont l'ordonnée est Thypoténuse.
422. On peut obtenir les formules précédentes d'une manière un peu différente. Reprenons l'équation (418)
ds = /id^.
dx
Elle donne d'abord l'équation (3). En y remplaçant as
5a COURS UE MÉCANIQUE.
par*/xy/i-t-^,
on a
d'où
dy
tly "= -^ QT. z=: -^ h dx dx
V dx^
d'où, en intégrant,
On verra comme précédemment qu'il n'y a pas de codstantes à ajouter à ces valeurs.
423. La courbe, lieu des points I tels que MI = arcBM, est une développante de la chaînette. La droite IP est tangente à cette courbe au point I, et la longueur IP de cette tangente comprise entre le point I et Taxe des x est constante et égale à h,
424. Le rayon de courbure de la chaînette est égal à la normale MN, mais dirigé en sens contraire. En effei, Téquat^on
dx* dx
donne
dy*
dW V '"^^
dx* h '
donc, si p désigne le rayon de courbure, on a
\ dx* I
^ it-y^
TRENTE -DEUXIÈME LEÇOH. 53
Mais réquation
donne
rfr»
Donc enfin
mais
donc
(10) p = MN.
D'ailleurs ce rayon de courbure est en sens inverse de la normale MN : en efTet, on sait qu'il est toujours dans la concavité de la courbe; mais celle-ci tourne sa convexité vers l'axe dès Xj puisque son équation étant
ds =zhd — % et 5 croissant eu même temps que x, la dérivée seconde -r-j- est toujours positive.
