HD ~" AC
treute-troisièmb leçov. 67
tend vers l'unité et que 6D est dirigé dans le sens HD ou AC. Ainsi les projections infiniment petites q^ et q soat égales et dirigées dans le même sens. D'ailleurs les forces Q et Qi sont égales et contraires. Donc leurs moments sont égaux et de signes contraires, et Ton a
447. La même chose peut se démontrer par le calcul. Soient jr, j', z 5 x', y y z\ les coordonnées rectangulaires des points A et B. Ces points peuvent être regardés comme assujettis à se mouvoir le long de deux courbes arbitraires AL et 6M, avec la condition que Ton ait toujours
(^ — Xf -4- ( j' — j^)> -f. [z' - Z)' =: l\
l désignant la longueur de AB. On aura donc, puisque / est une constante,
(ji' — x) , y' — r , z' — 2 , 1 ^ — Ldx-\- l—j^l.dj-\ —^"^
= -^-j^d3^ ^2—-JLdx' -f- —^ dz\
Soient ds = Aay ds' = B6 les éléments des courbes AL, BM correspondant à une position infiniment voisine de la droite AB. La relation précédente peut se mettre sous la forme
(y — X dx y' — X djr z' — z ^z\ —r~Ts'^—T~d^-^-i~ds) .
— X dy' z' — zrfz'N
ds' ' l ds' '' mais on a
X' — Xdx y'--ydjr z' — Z dz
COsBÂa = -j- H ; -r- H ; y-i
l ds l ds t ds
x' — X dx! . y' —yd/ z* —z dz cos IB ^. = —^ ^ 4- — ^ + — ^ - ,
pourvu qae ds et ds' soient positifs, condition qui peut
toujours être remplie en prenant convenablement les origines de ces arcs. On a donc
ds cosBA a:=ds' ces IB b ou
d'ailleurs les forces Q et Q, sont égales et de sens coniraîres : donc la somme de leurs moments virtuels est nulle.
DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES DANS LE CAS d'uN SYSTEME À LIAISONS COMPLETES.
448. Soient A (.r,y, z), A' (x',y, z'), M'{x\y\ z%,.. un nombre quelconque n de points assujettis à des condi- Fi0. i46. tions données. Ces condi-
tions seront ordinairement exprimées par un cerlaîu nombre d'équations entre les coordonnées de ces points. Le nombre des équations doit d'ailleurs être moindre que 3n, sans quoi chaque point aurait une position Gxe et resterait en repos quelles que fussent les forces appliquées au système; mais il peut être égal i^ 3/z — j. Dans ce cas, où le système est dit à liaisons com/jlètes, tous les points sont assujiUtis à demeurer sur des courbes données AL, A'L', . . ., et le déplacement d^ Tun des points entraîne celui de tous les autres. En eflct, en éliminant x\y\ z\ x"^ y'\ 2", etc., on tirera des équations données les valeurs de^ et de z en fonction de x, savoir :
cl ces équations représenteront une courbe AL, sur laquelle le point A {x^y^ z) sera obligé de demeurer. On
TKEKTE-TBOISIÈME LEÇON. 69
verra de la même manière que les autres points ne peuvent se mouvoir que sur des courbes déterminées. En outre, toutes les variables moins une, x, pouvant s'exprimer en fonction de celle-ci, quand on connaîtra la position de Tnn des points, A par exemple, celles de tous les autres seront déterminées : les déplacements infiniment petits qu'on peut faire subir aux points du système ont donc avec l'un d'eux des relations qui résultent des 3/i — i équations données.
449. Chaque point peut se mouvoir sur la courbe dans deux sens contraires, ce qui donne lieu à deux moments virtuels égaux et de signes contraires. C'est d'ailleurs ce qu'on peut voir par le calcul. Soit
une des 3/i — i équations de condition. On peut la différentier en y regardant une seule des variables comme indépendante, ce qui donne
elx df dz as
On aurait en tout 3/2 — i équations semblables. Or si elles sont satisfaites par de certaines valeurs de ^x, ij^ oz, Sx', . . . , elles le sont évidemment aussi par les mêmes valeurs prises avec des signes contraires, d'où résulte pour chaque point deux déplacements égaux et dirigés en sens contraires.
450. Supposons qu'on applique aux points A, A', A", . . . , des forces P, P', ¥\ . . . , telles, qu'il y ail équilibre. Nous pouvons ne considérer qu'une seule force en chaque point, puisque, s'il y en avait plusieurs, la somme de leurs moments virtuels serait égale au moment virtuel de leur résultante. Prenons sur une surface quelconque un point B qui soit lié avec les points A et A' par deux droites rigides AB, A'B, mobiles autour du point
JO COURS DE MÉCÀlflQUE.
B. Appliquons en A et B, suivant AB, deux forces Q, — Q égales et contraires, puis en A et B, suivant A^B, deux forces Q', — Q' égales et contraires. L'état du système ne sera pas changé.
Quand le point B se déplace infiniment peu, il est obligé de se mouvoir sur une courbe déterminée, car il doit être sur uuc surface donnée et rester à des distances également données des points A et A^ Cela posé, appelons toujours p, p', /?'',..., les projections positives ou négatives des vitesses virtuelles des points d'application, A, A', A", etc. Désignons par Q<7 le moment virtuel de la force Q appliquée au point A, et par Q'^' celui de la force Q' appliquée au point A'. L'intensité de Q' étant arbitraire, on peut en disposer de manière que les forces P' et Q' appliquées au point A' tiennent ce point en équilibre sur la courbe A'L^ Il est nécessaire et suffisant, pour cela, que la somme de leurs moments virtuels soit nulle (446) ou que Ton ait
P>'-hQ'7' — o.
On peut alors supprimer P' et Q' appliquées en A'. On peut aussi disposer de l'intensité de la force Q, déserte que les deux forces — Q, — Q' tiennent le point B cd équilibre sur la courbe où il est obligé de demeurer, ce qui exige, puisque les moments virtuels de ces deux forces sont, d'après le lemme précédent, — Qq et — Q'çS m^'^ l'on ait
de là et de l'équation précédente on déduit
Ainsi l'état du système ne sera pas changé si Von sup« piime la force P' appliquée au point A', pourvu que Ion applique au point A une force Q dont le moment virtuel soit égal à celui de la force P'.
TBÉSTE-TROISlkUE LEÇON. 7I
On pourra de même supprimer les forces appliquées aux autres points A^', Â"^, . • . , pourvu qu'on applique au point A des forces dont les moments soient égaux â
P//„// pMr„w
On n'aura donc plus que des forces appliquées au point A. Donc, pour que le système soit en équilibre, il faut et il suffît que ces forces se fassent équilibre et par conséquent que la somme de leurs moments soit nulle. On
aura donc
Pp 4- PV -h P'>'' -4-. . . = 0.
451 • S'il n'y a pas équilibre, les forces appliquées au
point A donneront une résultante R qui ne sera ni nulle ni
Fig. 147. normale à la courbe A a et qui
par conséquent aura un moment virtuel Rr plus grand ou plus petit que zéro, selon qu'elle tendra à faire mouvoir le point A dans le sens Aa ou dans le sens contraire, c'est-à-dire selon qu elle fera avec A a un angle aigu ou un angle obtus*
Or
Rr==P/?-t- P'/?'4-...z=SP/>;
donc selon que la somme ZPp sera positive ou négative, les forces tendent à mouvoir le système dans le sens Aa ou dans le sens contraire. Et si le mouvement A a est empêché, il faut et il suffit, pour qu'il y ait équilibre, que £P/7 soit nulle ou négative.
73 COVnS DE MÉCANIQins.
