L'équation

(i) P/?-hPy-hPV-h... = o

peut se mettre sous une forme plus commode. Soient l^is- >^i9- X, Y, Z les composantes pa-

rallèles aux axes de la force P appliquée en A. Désignons par Jx, ^y-y $z les vaiialîons des coordonnées de ce point pour

oi jj un déplacement virtuel Aa,

compatible avec l'état du système, de sorte que les coordonnées du point a soient x -4- 5 x, jr H- âj-, z -h 3 r. Le moment virtuel de la force P étant égal à la somme

TAEIITE-QUATRIÈME LEÇON. ^5

des moments virtuels de ses -composantes , on a on a de même

et ainsi de suite. En substituant ces valeurs dans Téquation (i)y elle devient

( a) 2 (Xo j? H- Ydf 4- Z5z) =r o.

CONDITIONS d'équilibre d'uN SYSTÈME.

458. Voici maintenant comment on déduit du principe général des vitesses virtuelles les conditions d'équilibre d^un système donné. Supposons que les liaisons qui existent entre les divers points du système soient exprimées par les équations

Ces équations devant être satisfaites par les nouvelles coordonnées des points, après un déplacement infiniment petit compatible avec Tétai du système, on aura

rfL ^ dL ^ dh ^ dis ^ ,

^J? -+--,— ^/ -f- -r- ^Z -t- -7-7 Sx H- . . . --. O,

rtj; djr dz dar

dU .. r/M ^ dM ^ dU ^ ,

(2) < dx tijr dz dx

•7- ^j? -f- — - (î^ -f- -7- ^z -I- — 7 ^x' -^ . . --. o, dx djr dz dx*

Pour bien comprendre ces équations, il faut concevoir qu'aux t équations données on ait ajouté Zn — i — / équations nouvelles, telles, que le déplacement considéré devienne le seul possible. Alors toutes les variables moins une deviennent fonctions de celles-ci, et on peut, sous ce point de vue, diilérentier les équations (i). D'ailleurs on ne diminue pas ainsi la généralité de la question, puisque le déplacement particulier que l'on considère

y6 COUKS DE MÉCANIQUE»

peut être Fun quelconque de ceux qui sont compatibles avec Tétat du système.

459. Les équations (2) au nombre de 1 contiennent 3 n variations Sxy dj^ îz, ... ; il y en a 3 n — i qui sont arbitraires, et les autres, au nombre de /, dépendent de celleslà. Si on porte les valeurs des dernières dans Téquation

(3) y (X^x^Y^j-hZ^s) = o,

ccUe-cî contiendra seulement 3n — i termes muliiplics cbacun par l'une des 3« — i varialions arbitraires, et comme la relation (3) doit être vérifiée quelles que soient ces varialions, il faudra égaler à zéro leurs 3/i — i coefficients. On aura ainsi Zn — t équations cpii, jointes aux équations (1), donneront 3» équations nécessaires et suffisantes pour réquilibre, entre les composantes des forces et les coordonnées de leurs points d^applicatîon.

460. L'élimination de 1 variations au moyen du système (2) peut se faire parla méthode des multiplicateurs. Multiplions la première par X, la seconde par /Jt, etc., et ajoutons-les membre à membre avec l'équation (3). Déterminons les quantités ^, //, . . . qui sont au nombre de / par la condition que les coefficients de 1 variations soient nuls et égalons à zéro les 3n — l' autres coefficients. Nous aurons les 3/2 équations suivantes :

^ , rfL fm rfN

«.r dx dx

^ dL dM r/N

Y-f-X— - -KfA — -4-V-- -:- .. — o, dx dy dy

(4) \ ^ . '^L r/M r/N '^^ ^ Z-4-X — -h pi— - -f-v— -;•...— o.

dz ilz dz

dx' • ^ df dz'

46i . Réciproquement, si ces équations ont lieu, je dis que les forces se font équilibre; car, en multipliant ces équations respectivement par $x, dj^ âz, dx% . . . et ajoutant, on retrouve l'équation

r/L du