DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DE D^ALEMBERT

483. Le mouvement d'un système de points assujettis à des conditions quelconques et soumis à des forces quelconques se détermine au moyen d'un principe très-général que Ton doit à d^Alembert. Mais avant de le démontrer, nous allons rappeler la déCnition générale de l'équilibre.

On dit que des forces appliquées à un point ou à ud système de points se font équilibre, quand l'état de celuici n'est nullement changé par leur suppression. Cette définition ne suppose pas le système en repos. Il peut être en mouvement, et alors on dit que les forces se font équilibre quand, en les ôtant, on ne modifie pas le mouvement du système.

484. Considérons un système de points en monve* meut M, M', ]VF^ ... -, soient m, m\ m^\ . . . leurs masses et P, P', P'^, ... les forces qui les sollicitent. Ces points sont assujettis à certaines conditions, ordinairement exprimées par des équations entre leurs coordonnées.

TRENTE-SIXIÈME LEÇON. p5

Considérons en particulier un de ces points, par exem-

Fig. i5a.

pie le point M qui est sollicité par la force P. Le mouvement de ce point n'est pas le même que s'il était libre. Soit Q la force qu'il faudrait lui appliquer, s'ilélait libre, pour lui donner le mouvement qu'il a réellement. Les composantes de la force Q parallèles

aux axes

sont des fonctions du temps connues ou inconnues, mais déterminées. Soient de môme Q', Q'\ ... les forces qu'il faudrait appliquer aux points M^M'^..., s'ils étaient libres, pour leur conserver le mouvement qu'ils ont dans le système. On voit que si Ton substitue les forces Q, Q', Q", - . . aux forces P, P', P'', . . . , tous les points prendront le même mouvement qu'auparavant, sans que les mêmes conditions analytiques cessent d'être remplies; car, puisque leur mouvement est le même dans les deux .cas, les équations de conditions seront encore satisfaites. Ainsi, au système des points assujettis aux conditionsdonnées et sollicités par les forces P, P', P '^, . . . , on pourra substituer le système des points assujettis aux mêmes conditions et sollicités par les forces Q, Q',

485. Cela posé, le système étant sollicité par les forces P, P', P", . . . , on ne modifiera point son mouvement, si l'on applique respectivement aux points M, M', M'^, . . . les forces égales et directement opposées Q, — Q, Q', — Q^ . . . , qui se font équilibre deux à deux. On

g6 COURS DE MÉCANIQUE.

vient de voir que, sans qu'on ait à changer lesliaisons du système, les forces Q, Q', Q'^,. •• P^^oduisent le mouvement effectif. DonclesforcesP,F,F,.,., — Q, — Q', — Q'',... se font équilibre, puisque le mouvement n'est pas changé par leur suppression. On arrive donc ainsi au principe qui porte le nom de d'Alembert, savoir que les forces motrices d'un système font à chaque instant équilibre à des forces égales et contraires aux forces gui produiraient son mouvement effectif, si tous ses points de^e» naïent libres.