X-i-X'-Hfi— ^r- = o
y// yf
Il résnlre de là que les forces P, P' et la tension (jl du cordon A^A'"^, cette dernière agissant de A^ vers A'', se font équilibre. Donc une force égale et contraire à fx qui mesure aussi la tension du cordon A'A'^ est la résultante des forces P et P'. On verrait ensuite, en ajoutant trois à trois les équations (i), (2), (3), qne la tension du cordon suivaut est la résultante des forces P, P' transportées en A'^ et de la force P'^, et ainsi de suite.
477. Si X,^, y,... n'étaient pas toutes positives, le polygone funiculaire ne serait pas en équilibre; car si fx, par exemple, était négative, les points A' et A^' seraient tirés par deux forces égales et contraires qui tendraient à les rapprocher. Cependant Téquilibre aurait encore lieu si les cordons étaient remplacés par des droites rigides, car ou a exprime que les distances ÂA^ A' A'^, .. . doivent cire constantes.
SUR UNE PROPRIÉTÉ DE l'ÉQUILIBRE.
478. La formule des vitesses virtuelles conduit à une remarque importante.
Supposons que le premier membre de lequation
(XSx -+- YSx •+• Z9z) = o
soît la variation exacte d'une fonction de x, y^ z^ j/, y' y jz', . . . , considérées soit comme des variables indépendantes, soit comme des variables liées entre elles par les équations L = o, M = o, etc., on aura
y (X^x 4- Y^7 -h ZBz) = S/{x,x, a, x',/, «',...)•
Il faut et il suffit pour cela que X, T, Z, X\ . . . soient les déiivées partielles de la fonction y, par rapport à XyjTj z, x\ .... Alors pour la position d'équilibre et seu* lement pour celle-là, la valeur correspondante de la fonction /*(j?, j^, j7,. . .) est un maximum ou un minimum, si toutefois cette fonction est susceptible d'un maximum ou d'un minimum ; car pour toute autre position du système, sa variation est différente de 'zéro. On démontre que l'équilibre est toujours stable quand le maximum existe; cela veut dire que si l'on écarte un peu le corps de sa position d'équilibre, il tend à y revenir et atteint cette position après un temps plus ou moins long. Si le minimum a lieu, l'équilibre peut être instable, auquel cas le corps un peu dérangé de sa position d'équilibre n'y revient plus.
4*79. L'expression
est une variation exacte quand les forces motrices sont dirigées vers des centres fixes et fonctions des distances de leurs points d'application aux centres. Supposons, pour simplifier, qu'il n'y ait qu'un seul centre K (a, £,c); soit R (X, Y, Z) l'inlensité de la force qui agit au point A(a:,j^, z) suivant AK; supposons-la attractive et soit
TRBZfTB-CIZfQVIBMB LEÇON. QI
AK = i\ On aura
ou bien
à cause de
(^ — « )> -h ( j^ — by 4- {« — <?)» = r\
On trouverait 4- R5r, si la force était répulsive. De même en désignant par R' (X', Y',Z'),R''(X^ Y^Z"),. • . les farces attractives ou répulsives qui agissent aux points A' y A!' y — , situés aux distances r', r'^... du centre fixe, on aura
V {XSa- -h Y8y -h Z^ï) = — Kêr — R' ^r' — K''8r"
Cette fonction est une différentielle exacte, si, comme on le suppose, R est une fonction de r, R' une fonction de r', etc.
480. Si les forces R, R', R", . . . supposées attractives on; pour expressions
fi étant un coefficient constant, le second membre sera la difiiérentielte exacte de
Ainsi, dans ce cas, la fonction
est un maximum ou un minimum quand il y a équilibre.
g a COUKS DE MÉCANIQtJE.
481. Le premier membre de réquation générale des vitesses virtuelles est encore une différentielle exacte, quand les forces considérées proviennent des actions mutuelles des points du système et qu^elles sont simplement fonctions des distances mutuelles des points qui agissent les uns sur les autres.
Soit en effet R la force avec laquelle deux points A (x, j^, z) et A'(x', y\ 2^) agissent Fun sur Taulre. La force qui tire A vers A' a pour composantes parallèles
aux axes
et les composantes de la force égale à R qui tire A' vers A sont
ces forces introduisent donc dans 2 {ILâx -hYây-i-Zdz) un groupe de termes
-.RfLz:f(^^^:p)R^!z:Z(5y^^)R?ji^
ou — Rdr, a cause deTéquation
H = ( JT — a/ )» 4- tr — ^')* + ( » — »' )'•
Il en résulte que
Or d'après Thypothèse N R5r est une différentielle
exacte.
S'il n'y avait que deux points et qu ils fussent assujettis à demeurer à une distance constante Tua de Tauire, on aurait îr := o et qzRJr=o. Par conséquent. la somme des moments virtuels de deux forces égales et contraires agissant suivant AA' est nuUe^ c'est le lemme dont on a fait usage au n^ 4i6.
TRElKTE-GIjrQtTIÊME LEÇON. qS
482. Considérons encore un système de points pesants. Soient p^ p\ p"^ . . . leurs poids et supposons qu*il n*y ait pas d'autres forces que la pesanteur. Si nous prenons Taxe des z vertical ou dirigé dans le sens de cette force, l'équation des moments virtuels se réduit à
on a donc
B{pz -k- p' z' -^ p" z'' -i- . . .) =0.
Soient P la somme de ces poids et z^ le 2 du centre de gravité du système, on a
pz -frp^z' -^-p^z" -4- . . . = P2,
et
^(Pz,)=o
ou
Ainsi, dans la position d*équilibre le centre de gravité est le plus haut ou le plus bas possible. C'est ce qu ou avait déjà remarqué à propos de la chaînette.
