La formule (i) peut se déduire de Téquation
l48 COURS DE MÉCANIQUE.
de la même manière qu'on étend le principe de d*Âlembert aux quantités de mouvement finies. Il suffit de supposer que la force Q qui agit perpendiculairement à Taxe est une percussion. Le temps 0 de son action étant trèscourt, il est permis de supposer que g reste constant pendant cet intervalle de temps. Alors^ si Ton intègre Téqualîon précédente depuis f = o jusqu'à ^ = (?, on obtient
or on a
donc
540. Si le système, au lieu d'éprouver des percussions simultanées, reçoit une suite de chocs se succédant à des époques quelconques, la vitesse angulaire sera toujours donnée par la formule
car, après un premier choc, le mouvement est le même que si le choc avait lieu à cet instant-là^ le corps étant en repos; par conséquent on peut supposer que le corps reçoive le premier choc et le second au même instant pour déterminer la vitesse angulaire après la seconde percussion, et il en sera de même pour de nouvelles per* cussions.
Fig. iCij.
CALCUL DES FERCUSSIOnS EXERCÉES SUR l'àXE FIXE.
541. Supposons que le corps soit mis en mouvement par une force instantanée qui imprimerait une vitesse V à une certaine masse fx au centre de gravité de laquelle elle serait appliquée. Cette force instantanée ou percussion a pour mesure la quantité de mouvement /iV. Prenons toujours Taxe fixe pour axe des z, et pour plan des
xy le plan perpendiculaire à Taxe fixe mené par le point du corps auquel est appliquée la force instantanée. Nous désignerons par a et 6 les coordonnées de ce point d*app1ication.
On sait que les quantités de mouvement imprimées auxdifférents points doivent faire équilibre aux quantités de mouvement effectives, prises en sens contraire, et cet équilibre doit avoir lieu en vertu de la fixité de Taxe. On peut rendre cet axe immobile en fixant deux de ses points pris à volonté. Prenons le point O, origine des coordonnées, et un autre point H quelconque sur Oz. En supposant que ces points cessent d*ètre fixes, on pourra détruire les percussions exercées sur l'axe et maintenir cet axe en repos, en appliquant aux deux points O et H deux forces instantanées Rf et Rt d'intensités et de directions convenables. Si l'on introduit ces deux forces, qui représentent la résistance des points, l'équilibre aura encore lieu en regardant le corps comme entièrement libre. Il faut donc appliquer à ce système de forces les conditions d'équilibre connues d'un corps entièrement libre.
Soient X^ Y, Z les composantes de la quantité de mouvement /jtV, et Xi, Yj, Zi celles de la résistance du point O^ Xs, Ys, Z, celles de la résistance du point H; enfin
l5o cou as DE MÉCANIQUE.
dx {Ïy di
/7i— > m -—j m — - les composantes de Ja quantité de
mouvement effective pour le point m ; soit OH = A. On aura d'abord les trois équations
H- X, -f- Xj = Oj
et les c'r|nalions des moments
(2) / Za — Xa/i -^/^"» ( ^ ^ """^ ^) ~"»
542. On peut transformer ces équations. En remarquant d'abord que z est constante, puisque chaque point décrit un cercle parallèle au plan des xr, on a
€iz
iU
De plus, en désignant par 9 Tangle que mK fait avec une parallèle à Taxe des x menée par le point K, on a
X = rcosô, j' 1= rsinOy d'où Ton déduit
dx djr
puisque — n'est autre cliose que la vitesse angulaire co.
dt
QI)ARAI«TE ET UNIÈME LEÇON l5l
On aura donc
dt ^
jTi etyi désignant les coordonnées du centre de gravité du corps entier, et M la masse totale du système. Diaprés cela, les équations d'équilibre deviennent
(4) Y — «Mj:, -h y. -h Y, :^ o,
(5) Z-hZ, -:-Z, ^-o;
(6) Yj /^ — Z 6 — w \ nurz i^ o,
(7) Za — XjA — w\ /7/7 3 1=: o,
(8) X6— YaH-wV
mr' =:^0.
La dernière, équation, ne contenant pas les composantes des résistances aux points O et H, sera Téq nation du mouvement, c'est-à-dire qu'elle déterminera la vitesse angu* laire co. On en tire / N Ya-Xg
(H cette valeur de o) s'accorde avec la formule
en désignant par v la projection de la vitesse V sur un plan perpendiculaire à l'axe. Eu eii'et ^xv^J est le moment par rapport à l'axe Oz de la percussion appliquée au corps, au point du plan xOj qui a pour coordonnées
l5a COUAS DE MÉCANIQUE.
a, 6, et Ton sait que ce moment est aussi représenté par
Ya— X6.
543. Les équations (6) et (7) déterminent Xj et Y,. Les équations (3) et (4) feront ensuite connaître Xi et Yf L'équation (5) donnera la somme Zi 4-Zt. On ne peut pas déterminer séparément Zi et Z^, parce que ces deux forces agissent suivant la même droite Oz et se composent en une seule égale à leur somme. Si ron fait varier la dislance /i, les équations (6) et (7) montrent queXi et Yt varient en raison inverse de h.
CONDITIONS POUR QUE l'aXB n'ÉPROUVB AUCUNE PERCUSSION. — CENTRE DE PERCUSSION.
Sii. Proposons-nous maintenant de chercher les conditions qui doivent être remplies pour que l'axe n'éprouve aucune percussion. Il faut pour cela que les composantes des résistances soient toutes nulles. Si Ton introduit ces hypothèses dans les cinq premières équations (542), elles deviennent
(0 X + wMj, = 0,
(2) Y — wMj:, = 0,
(3) Z=ro,
(4) / TnxZ r=:0.
myz zn o.
L'équation Z = o exprime que la percussion appliquée à la masse j[x doit agir dans un plan perpendiculaire à Taxe. Les deux dernières expriment que Oz doit être Tun des axes principaux d'inertie relatifs au point O.
545. Pour interpréter les équations (i) et (2), faisons passer le plan des xz par le centre de gravité de' tout le
QUA.11A.KTE ET UNIEME LEÇOrV. l53
corps ; alors on a
jj = 0, a:, = GI = a,
et les deux premières conditions deviennent
X = o, y=:wMa,
La première indique que la percussion se réduit à sa composante T, puisque Ton a déjà Z = o, c'est-à-dire que la percussion doit être perpendiculaire au plan zOG qui passe par Taxe et par le centre de gravité du corps. La seconde va nous donner la valeur de y*, c'est-à-dire la plus courte distance de cette force à Taxe^ car on a
et réquation T = uMa devient
fAP= ' -^ Ma
^ Ma
Soit MA* le moment d'inertie par rapport à un axe mené par le centre de gravité G du corps et parallèle à O2 : on a
y wr' = M (il» -h k% et, par conséquent,
d'où
546. En résumé, on a les trois conditions suivantes pour que l'axe n'éprouve aucune percussion :
2^ La direction de la percussion doit être perpendicu-
ID4 COUnS DE MÉCANIQUE.
laireau plan qui passe par l'axe fixe et par le centre de gravité du corps.
2° Cet axe doit être un des axes principaux pour le point où il rencontre le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force instantanée.
3^ Enfin la distance de cette force à Taxe doit être
égale à a H ^ a étant la distance du centre de gravité
du corps à l'axe et MA* le moment d'inertie du corps relativement à un axe mené par ce centre de gravité parallèlement à Taxe fixe.
547. On appelle centre de percussion le point auquel la percussion doit être appliquée dans le plan passant par l'axe et le centre de gravité pour qu'il n'y ait pas d'effort exercé sur Taxe fixe : la distance du centre de percussion
à Taxe fixe est « H •
Si l'axe passait par le centre de gravité, il éprouverait toujours une percussion. En effet, pour qu'il n'y ail pas d'effort exercé sur l'axe, la percussion appliquée au corps doit être égale à coMa (545). Elle doit donc être nulle si a est nulle, c'esl-à-dire si Taxe passe par le centre de gravité du corps : mais alorsy=: oo . Le centre de percussion serait donc à l'infini.
548. Réciproquement, si le corps est en mouvement autour de l'axe, on pourra l'arrêter brusquement sans qu'il existe aucune percussion contre l'axe en appliquant au centre de percussion une force instantanée égale à eoMa, perpendiculaire au plan mené par l'axe et par le centre de gravité du corps.
CONDITION FOUR Qu'iL KY AIT DE PERCUSSION Qu'eN LS
POINT DE l'axe.
549. Si ce point est le point U, il faut que X], Yi, Zi, composantes de la quantité du mouvement due à la force
QUARANTE ET UBflLME LEÇON. l55
appliquée au poiut O, soient nulles, ce ^ui donne, en supposant j*! t= o, arj = a,
X, = — X, Y, = — Y-f-«Mrt, Z2==~2:
pais<
ei si Z = o,
wE «D
Mfl — Y
en posant
D = > myzy E = \ mxz.
L'équation de condition est donc
DYH-EX = wMa.
Si en même temps D et E sont nulles, c^est-à-dire si 0^ est un axe principal d'inertie pour le point O, on a A = o et la percussion est appliquée au point O.
l56 COURS DE MÉGàNIQtlE
ROTATION D'UN CORPS AUTOUR D'UN AXE (suite).
Rotation d*un corps sollicité par des forces quelconques. — Pressions sur Taxe. ~ Cas où il n*y a pas de forces motrices. — Cas où les forces motrices se réduisent à un couple dans un plan perpendiculaire à Taxe. — Mouvement du treuil.
ROTATION D*UIf CORPS SOLLICITÉ PAR DES FORCES
