Si le pendule s'écarte peu de la verticale, on a
[ lu^-v- ih,, — 3«\
u et I/o ëtant très -petit s, ainsi que //q*
On a donc à peu près N = g^, et les deux premières équations du mouvement deviennent
Elles donnent, en désignant par a et 6 des constantes, *^acos^/y/f j, r^Ssin^ry^j,
ou, si Ton pose (x = i/y> d'où Ton déduit
•Cr T
La projection horizontale de la courbe décrite est donc
QUÀRÀI«TB-CI1IQUIÈME LEÇON. 189
une ellipse. On a
(3) tang^ = - tungfzf.
La durée de la dcmi-révolulîon est - ou ir i/- » c*est-
à-dire égale à celle d'un pendule de même longueur qui oscillerait dans un plan vertical.
S90. La projection du pendule sur un plan horizontal décrira encore à très^peu près une ellipse si Tangle que le pendule fait avec la verticale varie très-peu, ou en d'autres termes si les valeurs a et b entre lesquelles z reste comprise (581), diffèrent peu Tune de Tautre*, car alors N sera à peu près constante. En effet, si z restait égale à
la constante /c , 1 équation — -i- -^ 5 = o donnerait
N = ^ • On conçoit que si z diffère peu de Ar, la valeur
al
de N sera à peu près constante £t égale à ^* ^^s on peut le voir de la manière suivante : on a
on a trouvé
^•-^• = -^^Tb '
donc
g l ^ a/' — 2fl'-- 7.b^ — ^ab\
on
__gf 2/» 3a*4- 36'— g'— b^-hinbX
igo COURS DE MÉCANIQUE.
et, en négligeant z — a^ z — b^ [a — &)*,
ri — — —r — -7-> A = •
De là résulte
Ces équations ont la même forme que les équations (i). On en tconclut que la projection horizontale du pendule décrit une ellipse et que la durée de la demi-révolulioD
est TT i /-» valeur moindre que tt t/--
HOUVEMENT d'uNE TIGE PESÀIiTE TOURNAlîT AUTOUR D^UM DE SES POINTS QUI EST FIXE.
591. En désignant par x\ y* ^ -s' les coordonnées d'un point quelconque m de la tige, considérée comme une ligne droite pesante, on a par le principe de d'Alembert
ou
Prenons sur la tige un point L dont la distance au point fixe O soit / et soient x, 7, z ses coordonnées. En désignant par u la distance O///, on a
et Téquation (i) devient
r/'x d^r d^z Zj
QUÀKANTE-ClirQUIÈME LEÇON. I9I
OU
, , d'X - d'^Y » d'^z ^ sla .
en posant
a étant la distance du point O au centre de gravité de la tige pesante, M la masse et MA* le moment d'inertie de cette tige par rapport à ce même centre de gravité. On a la condition
(4) ar»4.^a-f.^2— /»,
qui donne
(5) jT^ar-t-^^j- -h2^z = o.
En multipliant cette équation par 1 et ajoutant Téquation (3)9 on trouve
/ d^x l dl^
l dC
1 di^
-hXs
592. S'il n'y a qu'un seul point pesant jx sur la ligue droite, à la distance /, on a\ mu* = fx/*, \ mu = (x/ et
(^^ W^^^^""' 'dF'^^^^'"' 'dÔ'^^^~^='''
Les équations (6) se réduisent à celles-ci, si l'on suppose /= a H — ^ Ainsi la tige pesante se meut comme
1Q1 CODRS DE MÉCAHIQCE.
le pendule simple, dont la longueur est / = a -j Le
point L est le centre d'oscillation. Ce point se meut comme un point libre sollicité par la pesanteur g et par une force accélératrice donc les composantes sont
— "kxy — Xj^, — ^2. Cette force est dirigée vers le pointO
et son intensité est 1 ^x'+y*-h z' ou X/. C'est la tension désignée par N. On a N == X/. Il ne faut pas croire que la tension soit constante dans toute l'étendue de la tige.
