DU CENTRE DE GRAVITÉ

Remarques sur les systèmes de points qui peuvent se mouvoir comme des corps solides. — Mouvement du centre de (rravité. — Vitesse iniliale du centre de gravité d'un système mis en mouvement par des percussions. — Conservation du mouvement du centre de gravité.

re^Auques sur les systèmes de points qui peuvent SE mouvoir comme des corps solides.

597. Considérons un système de points matériels m, m', m" y . . . , sollicités respectivement par des forces P, P', P'^, . . . , dont les composantes parallèles aux axes sont X, Y, Z-, X', Y', Z';.... En vertu du principe de d'AIcmbert, si Ton applique au point m des forces parallèloB

aux trois axes et égales respectivement à X — m — ■?

Y — m •— • Z — m -j-j î et aux autres points des forces

analogues, toutes ces forces doivent se faire équilibre au moyen des liaisons du système. Les conditions de cet équilibre sont comprises dans Téquation générale des vitesses virtuelles; mais ou peut parvenir à des pro* priétés importantes, sans qu'il soit nécessaire d'exprimer toutes ces conditions.

Ainsi Téquilibre existant entre les forces mentionnées, dans le système dont nous étudions le mouvement, il subsistera encore si Ton introduit entre les différents points de nouvelles liaisons telles que Ton voudra, pourvu qu'elles ne soient pas incompatibles avec les conditions

QUÀRÀI^TE-SIXIÈME LEÇON. IQS

donnëes ; on peut supposer, par exemple, que les distances des différents points du système deviennent invariables, si les liaisons son^ telles, que les points puissent se déplacer sans que leurs distances changent. Il en résulte que les forces doivent satisfaire aux six équations d'équilibre d'un système solide, pourvu toutefois qu'après la solidification il n'y ait aucun point fixe ni aucun point assujetti à demeurer soit sur une courbe, soit sur une surface fixe. En faisant cette restriction, les trois premières équa-^ tions d'équilibre donnent

bien

598. Pour que le système puisse se déplacer comme un corps solide, c'est-à-dire sans que les dislances de ses points varient, il faut et il suffit que chaque équation de condition se réduise à une relation entre les distances de ses différents points. En effet, soit

une équation qui doit toujours exister entre les coordonnées x,^, 2, or'. . . et dont le premier membre L est une fonction f de t et de x^jTj Zj x\ . . . , Désignons par p^q^r^ . . . les in — 6 distances des différents points qui doivent rester constantes. On a

( p = v/(i:'-:r)'H-(r'-JJ^-+-(3'-2)S

On peut réduire à six le nombre des coordonnées qui n'aient plus entre elles aucune relation donnée et prendre, par exemple, x^y^ z, x\y et x" pour ces coordonnées arbitraires et indépendantes. On aura toutes les autres en fonction de celles-là et des quantités p^Çy " Donc chaque équation de condition telle que L = o sera réduite à la forme

Pour un déplacement virtuel quelconque, p, ^ , r, . . . restent constants, t ne variant pas, et par conséquent, puisque Téquation L = o doit être satisfaite, quelles qur soient Xyjr, r, x'^jr'yX^\ ces quantités ne doivent pas entrer dansai Donc, en éliminant de Téquation L = o, 3n — 6 coordonnées à Faide des équations (a), les six autres doivent disparaître en même temps, et Téquation L = o doit se réduire à une simple relation entre les distances ;?, ç, r, . . . , ce qu'il fallait démontrer.

599. On ferait le même raisonnement en exprimant les 'in coordonnées en fonction des distances /?, f , r» . . . , et de six autres quantités qui fixeraient la position arbitraire du système par rapport aux axes fixes : par exemple, les coordonnées a, 6, y de l'origine d'un système d'axes O'x', O'y', O'z' liés au corps solide, et les trois angles cp, (p, 0, qui déterminent la position de ce nouveau système d'axes par rapport au système des axes Ox, 0/« Oz, fixes dans l'espace. L'équation L = o prendrait la forme

Or «^ 6, y, ç, <{;, 0 n'y doivent pas entrer, puisque cette équation doit avoir lieu, quelles que soient les valeurs qu'on leur attribue. Donc L se réduit à une fonction de

QUARAlf TE-SIXIEME LEÇON. igy