Reprenons les équations
qui ont lieu dans le mouvement de lout corps solide libre ou de tout système qui peut se mouvoir comme un corps solide. Soient x^yi^ Zi les coordonnées du centre de gravité et M la masse totale du système. On a toujours
dt j^ di
Si Ton suppose un point matériel toujours placé au centre de gravité du système, ces formules feront connaître sa vitesse à une époque quelconque, lorsqu^on connaîtra celles de tous les points du système.
En différentiant de nouveau les équations (2) et en ayant égard aux équations (i), on trouve
r/.r, VI ^^'^
dt
198 COUBS DE MéCANIQUF.
De là résulte le théorème suivant :
Le centre de grai^ité de tout système libre se meut comme si les masses de tous les points matérielsy étaient réunies et que les forces motrices y fussent transportées parallèlement à elles-mêmes.
601 . Si l'on connaît le mouvement de chaque point du système, celui du centre de gravité sera également connu à un instant quelconque, au moyen des formules
Mar,
= /^'W'^5 Mjr, =\ wr, M«, =\mz^
sans qu'on ait besoin de recourir au théorème précédent; maïs celui-ci est principalement utile pour déterminer le mouvement du centre de gravité, lorsqu^on ne connaît pas. ceux de tous les points du corps. Toutefois il faut connaître Tétat initial du système afin d'avoir la position et la vitesse initiales du centre de gravité.
VITESSE IflITIÀLE DU CENTRE DE GRAVITÉ d'uN SYSTEMS MIS Eir MOUVEMEKT PAR DES FORCES 1NSTAMTAMÉES.
602. On peut supposer que le système d'abord en repos soit mis en mouvement par des percussions. Déterminons, dans cette hypothèse, la vitesse initiale que doit prendre le centre de gravité.
Remarquons à cet effet que si B est le temps pendant lequel agissent les percussions, l'équation
donne
Or, soient a, &, c les composantes de la vitesse que la percussion P (X^ Y, Z), appliquée au point m, lui donne-
QUARANTE-SIXIÈME l.EÇOIV. I f)9
rail s'il ctait libre. On sait que
par conséquent
I l^tlt r- ma ; Jo
V ff^ V
y m —~ rr= y ma.
La même formule aura lieu pour les autres axes. On a donc, en ayant égard aux équations (2), n"599,
^r ^ ^// ^ dt ^
formules (lui donnent les composantes -7^» -,-? -7^ de
la vitesse avec laquelle le centre de gravité doit commencer à se mouvoir. On voit que cette vitesse est celle que prendrait un point ayant la niasse M, placé au centre de gravité et qui serait sollicité par toutes les forces instantanées du système transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point. En considérant comme autant de forces les quantités de mouvement que ces percussions itnprimeraient à des masses libres, on concevra ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité, et Ton prendra leur résultante. La vi-lesse initiale du centre de gravité sera dirigée suivant celte résultante et égale à la valeur numérique de la même résultante divisée par la masse M.
