Supposons que la fonction

Spidx -^Ydy -{-Zdz)

soit la difiereutiellc exacte d'une fonction des variables x, y^ ^, x', . . . , considérées comme indépendantes ou comme liées entre elles par les équations L = o, M =0,... Soit

(1) ^SjlLdx 4- Ydj 4- Zdz) = df{xy y, z, x', . . .).

On aura, en intégrant Téquation

(2) dSm^ = 'xSiUdx 4- Ydy -f- Zdz) par rapport au temps,

(3) \ iifP* = C ^-/(x,/, », x',7% . . .].

Pour déterminer la constante C, désignons par v^ la vitesse d^un point quelconque M, et par Xo, j''o) ^09 ses coordonnées à une époque quelconque to* On aura

et, par suite,

(5) \ WP»— \ /m'J=r/(^,^,«,x',...)— /(^a,ro>2o, ..)•

Donc lorsque le système passe d* une position à une antre, V accroissement de la somme des forces villes ne dépend que des coordonnées des points dans ces deux posi^ tions. Pour évaluer cet accroissement, on n'a besoin de connaître ni les liaisons des points dans cet intervalle, ni les chemins qu ils ont suivis, ni le temps qu'ils ont mis à les parcourir.

620. L'équation (5) montre que si les points mobiles occupent la même position à deux époques différentes t et fof la somme des forces vives aura la même valeur à ces deux époques. On aura dans ce cas

\ nw^ — \ mv\ = o ,

pourvu que, les coordonnées des points reprenant les mêmes valeurs, la fonction y'(j:,j', z,x', . . .) reprenne aussi la même valeur. Cest ce qui pourrait ne pas avoir

2l8 COURS DE MÉCAKIQUE.

lieu. Par exemple, si dans

(X^r-f-Yrfj-f-Zr/z)

on a une partie telle que — — — ^ — qui est la dîfféren-

tielle d'un arcS^ dont la tangente est -> si le point m rc-

vient à la position qu'il a déjà occupée en tournant toajours dans le même sens autour d'un axe, quelle que soit la courbe décrite, l'angle 9 aura augmenté de air, de sorte que la fonction y* dans laquelle entre 0 n'aura pas repris sa valeur primitive.

621. L'expressiony(Xrfa:-f-Yr/^-f-Z^r) est la différentielle exacte d'une fonction dea:,j>^, r,a:', . . . quand les forces motrices sont constamment dirigées vers des centres fixes, et qu'elles sont fonctions des distances de leurs points 'd'application aux centres. Cela arrive aussi quand les forces proviennent d'attractions ou de répulsions mutuelles entre les points du système, actions dont les intensités sont fonctions des distances des points entre lesquels elles s'exercent.