On tire de ces formules diverses conséquences

Soit IX la vitesse commune aux deux centres de gravité, an moment où la compression est la plus grande. On a (631)

mais

don

m '\' inf V =: 2 1» — c.

On trouvera de même

Donc la vitesse de chaque corps au milieu du choc est la moyenne arithmétique entre sa vitesse avant le choc cl sa vitesse après le choc.

L'équation

fait voir encore que la vitesse relative avec laquelle le centre de gravité C s'éloigne de C après le choc est égale à celle avec laquelle il s'en approchait à l'instant où le choc a eu lieu.

EXAMEN DE QUELQUES CAS PARTICULlEnS.

636. Si le corps C est en repos au moment où C vient le rencontrer, i^' = o, et si les deux corps sont mous, la

23o COURS DE MÉCANIQUE.

vitesse après le choc est (631 )

On ne peut avoir z/ = o que si la masse m' est infiniment grande par rapport à la masse m. C'est ce qui arrive pour les corps mous tombant à la surface de la terre.

637. Il n'en est plus de même si les corps sont parfaitement élastiques. Dans ce cas, les formules (4)9 n° 634, donnent

(m ^m')v amp

Si m' est infiniment grande par rapport à m, on a

Ainsi le corps choqué demeure en repos, tandis que Fautre est réfléchi en sens contraire avec une vitesse égale à celle avec laquelle il est venu rencontrer le premier.

C'est ce qui arrive lorsqu'une sphère élastique pesante tombe d'une certaine hauteur sur un plan fixe horizontal qui est lui-même élastique. Elle doit remonter, parla réaction du plan fixe, jusqu'à son point de départ.

638. Quand les deux masses m et m' sont égales, si les deux corps sont mous, leur vitesse commune après le choc sera

c'est-à-dire la moyenne entre les vitesses des deux corps avant le choc.

Si les deux corps sont parfaitement élastiques, ils ne feront qu'échanger leur vitesse, car en faisant m=rri' les formules (4)) n^ 634, donnent

QUABANTE-MEUVIÈME LEÇON. 23 1

Donc, si l'un des corps était en repos, Tautre restera immobile après le choc et lui transmettra sa vitesse, car si >''= o, on aura V = o, V'= i^.

C'est ce qui arrive quand une bille C vient en choquer

une autre C^ La même chose aurait lieu si un nombre

Fig. 1^2. quelconque de billes égales

C', C, C"^ en repos et parfaitement élastiques étaient choquées par une bille élastique C et de même masse, suivant la droite qui passe par leurs centres. On verra facilement que toutes les billes, excepté la dernière, resteront en repos et que la bille G" seule se déplacera avec la vitesse même qu'avait la première au moment du choc. Toutes ces conséquences sont vérifiées par Texpérience.

THÉORÈME DE CÀRHOT.

639. La somme des forces vives ne change pas par Tefiet du choc quand les corps sont parfaitement élastiques : c'est ce que montre Téquation du n° 633. Mais lorsqu'ils sont mous, elle diminue et la différence est égale à la somme des forces vives dues aux vitesses acquises ou perdues par les deux corps. En eflîet, cette différence exprimée par mt^'-H m'v^* — (m -f- m!) w' est égale à

/»p»-f- /nVM- {m -h /»')«* — 2{iw -4- m')u.u r:=:nw^-h m* v'^ -¥• (iw 4- m')u} — 2.{mv-\- m'v') « ,

en remplaçant (m -h m') u par ni%^ -i- m V. On a donc en réduisant

mp*-4- /w'p'* — (m -^ m') «'=: m[v — «)* + m'[u — v^)\ équation qui démontre le principe énoncé.

On peut encore mettre cette perte de force vive sous

la forme ; (u — t*')*, en remplaçant dans le deuxième

membre de l'expression u par sa valeur.