PRINCIPE DE LÀ MOINDRE ACTION

641 . Dans le mouvement d'un système de corps pour lequel le principe des forces vives a lieu, si Ton multiplie la vitesse de chaque point du système par sa masse et par rélcmcnt de sa trajectoire, et qu'on intègre la somme de ces produits depuis une position donnée du système jusqu'à une autre position aussi donnée, la valeur de celle

intégrale / \ msfds est généralement un minimum.

Nous disons généralement, parce qu'il y a exception dans

QUAAANTE-KEUVIÈME LEÇON. 233

quelques cas particuliers, mais on démontre que dans tous ]es cas sa variation est nulle.

Supposons que Ton ait, en conservant les notations du no615,

On a

^ j /hpds=^ j S\ nifdsz=z j \ mâvds-h I \ mvSdSy

Or

\ m$vds=:\ mv8pdtz= - dt\ dy^ mais

donc

Y m$P ds = dt\ {X$x + YSjr ^ z$z).

On a ensuite

\ mvâds z-\ m -^['-^ dSx H- -^ d$r -\- -" diz] Ld Ad dt\ ds ils fis J

OU bien

=2 - {- di. + %diy + ± au)

2 '""^'^ ^^ ""' ^Tt^'^Tt^^^tt^')

Donc on aura

Mais les deux points extrêmes étant fixes et donnés, dx,

$jr^ $z^. . . . , sont nulles aux deux limites. Donc on a bien

^ 1 \ mvds =. o,

ce qu'il fallait démontrer.

Quand les points mobiles ne sont soumis à aucune force, on a

et par suite

Jm9^dtz=Lc[t-^t^),

et comme Vintcgrale i mv^dl =■ 1 muds est un minimum,

il en résulte que t — ^o ou le temps du trajet est aussi un minimum.

CllïQUAKTlËME LEÇON. aSS

CINQUANTIÈME LECON^'l