Si le côté AB est à fleur d*eau, on a c = o et

2(fl -h 2^)

Quand le trapèze est horizontal, on a

Sma -O, If, = -7r7 7T-»

et le centre de pression coïncide avec le centre de gravité.

718. Quand la surface plongée dans le liquide est courbe, la pression totale qu'elle supporte n'est pas la somme des pressions exercées sur ses éléments, parce que celles-ci ne sont pas parallèles. En général ces pressions n'ont pas de résultante unique et se réduisent à deux forces non situées dans le même plan ou à une force et un couple.

PRINCIPE n^ARCniMÈDE.

719. Quand un corps pesant est plongé dans un //guide y les pressions exercées sur sa surface ont une ré^ sultante unique^ égale au poids du liquide déplacé et appliquée au centre de gravité de cette partie du fluide, supposée solidifiée.

Supposons d'abord que le corps soit enlièremeni plongé dans le fluide et considérons un clément quelconque co de sa surface. Soit p la pression, rapportée à Tuiiité de suL'lace, exercée en ce point :/;ci) est la pression supportée

CINQUÀMTB-QUATBIXME LBÇON. 3o3

par rélémenl ct>. Désignons par 1, fiy v les angles que la Fig. 184. Bormale fait avec trois axes

rectangulaires. Les composantes de poi suivant ces ases sont ptù eosX, ptA cosft, p(È> cosv, ou pa, pb^ pc, en appelant a« i^ c les projections de Télément co sur les trois plans coordonnes.

Or toutes les composantes telles que pa se détruisent deux à deux. En eflet, le petit cylindre coa prolongé découpe sur le côté opposé de la surface un petit élément Cl)' dont la projection sur le plao^Oz est égale à a. La pression sur <ù\ rapportée à Tunité de surface, est/?, parce que Cl) et ù>' sont à la même profondeur. Donc la composante de la pression totale ptù' exercée sur co' et parallèle à Oj: est égale à pa^ et comme elle agit en sens contraire de celle qui s'exerce sur ci), elle la détruit. On verrait de même que toutes les composantes parallèles a Oj' de toutes les pressions se détruisent deux à deux. Il ne reste donc plus à considérer que les composantes verticales.

Le petit cylindre vertical dont la base est gû découpe sur la partie supérieure de la surface un autre élément Wi^ dont la projection sur le plan xOjr est e. Donc si pi e&t la pression en ci)|, rapportée à Tunité de surface, le petit cylindre &> cOi est soumis à une pression verticale s'exerçant de bas en liaut et égale à [p — /'i) ^9 ^^ comme p = g pz -hts, X3 étant une constante, ou aura

en appelant p la densité du fluide supposée constante, ^, le z do Tclément Wj, /la longueur du pclii lilcl cylindri(|uc compris entre co et Wj. Cette pression é([uivaut donc au poids du fluide dont ce petit filet tient la place. £11 décomposant le corps en iliets verticaux infinimeut

3o4 COURS D2 MÉCANIQUE.

minces, chaque filet est presse de bas en haut par une semblable force, et Tou conclut de là que toutes les pressions exercées sur le corps se composenten uneseule force verticale agissant en sens contraire de la pesanteur, égale au poids du fluide dont le corps tient la place et appliquée au centre de gravité de cette masse fluide. La résultante de toutes ces pressions se nomme la poussée du fluide.

720. Le principe d'Archimède subsiste quand le corps n'est plongé qu'en partie dans le fluide. On verrait d'abord,

comme précédemment, que les pressions horizontales se détruisent; puis 9 si le cylindre vertical co'o)', a une partie en dehors du fluide, les composantes verticales des pressions exercées en w' et tù\ seront />'= (g^pz-ho)cetcTc, de sorte qu'en prenant leur diflerence, la partie commune disparaîtra et la pression sera égale au poids d'un volume de liquide égal à la partie du cylindre plongée dans le liquide.

721 . Le théorème d' A rchimède a encore lieu quand la densité p n'est pas la même à toutes les profondeurs, car les pressions horizontales se détruisant, la pression verticale supportée par le cylindre co coi serait

^p,)c=zej gpdz^

ciz

en observant qu'on a toujours

a étant la valeur de z pour laquelle on a ^ = ex. Or / g pcdz est le poids du fluide déplacé.

CIWQUAKTE-QUATRIÈME LEÇON. 3o5

722. Le principe d'Archimède peut encore se démontrer de la manière suivante : Séparons par la pensée, dans un fluide en équilibre, une partie quelconque de sa masse. Elle est en équilibre et le sera encore si nous la supposons solidifiée. Mais alors toutes les pressions exercées contre sa surface par le fluide environnant doivent.se réduire à une ^ule égale, et directement contraire à son poids. Il est clair que ces pressions auront encore la même résultante, si Ton substitue à cette masse de fluide solidifiée un corps solide quelconque de même forme : ce qui démontre le principe énoncé.

723. Quand le poids d'un corps est égal au poids d'un égal volume du fluide dans lequel il plonge, ce corps reste en équilibre à toutes les profondeurs, pourvu que son centre de gravité et celui du volume du fluide déplacé soient sur la même verticale. Le corps descend au fond du vase ou remonte à la surface selon que son poids est supérieur ou inférieur à celui du fluide déplacé. Dans ce dernier cas, le corps doit être en partie au-dessus du niveau supérieur, et Téquilibre ne s^établit que lorsque le poids du liquide déplacé est égal au poids du corps.

724. Quand on pèse un corps dans un fluide, on n'obtient pas son véritable poids, mais seulement Texcèsde ce poids sur celui du fluide déplacé. Si P est le poids du corps et P' celui d'un égal volume de liquide, D la densité vraie, p la densité apparente, on a

d'où

DP'

72o Le principe d'Arcbimèdc subsiste et sa démons iraliiin est la même dans le cas où Ton considère un Uuide contenu dans un vase : on en conclut que la résultante

SllRM.^ J»/tr. II. 20

3o6 COURS DE MÉCAHIQXJE.

des pressions d'un fluide sur les parois du vase qui le contient est égale au poids du fluide. Il faut bien distinguer celte pression de celle que supporte la paroi horizontale inférieure, qui peut être plus grande ou plus petite que le poids du fluide. Si l'on fait une ouverture à Tune des parois latérales, la pression n'ayant plus lieu sur la portion de la paroi qu'on a enlevée, celle qui s'exerce sur la paroi opposée ne sera plus détruite, et le vase sera mis en mouvement en sens contraire de l'écoulement du liquide. C'est là le principe des différentes machines dites à réaction.

CINQUÀIITE-CIVQUIEME LEÇON.