CDE

r érant le rapport de la densité da prisme à celle du liquide. Il faudra en outre que les centres de gravité G et H de ces deux triangles soient sur une même perpendiculaire à DE. Soient

CA=/», CB=r^ AB = r, CK = A, CD=:x, CEmrr,

3o8 COURS DE MÉCANIQUE.

X et y sont les deux inconnues qu'il s'agit de déterminer. Or on a

surfCAB = - rt6 sînC, surfCDE = -xy sinC,

d'où

(i) xyzrzrah,

D* un au Ire côté, GH est perpendiculaire à DE ainsi que FK qui lui est parallèle, et comme DF = FE, il sVnsuit qu'on a KD = KE. Ré<iproquement, si KD= KE, la droite KF et par suite GH sera perpendiculaire à DE. Or si Ton nomme a et £ les angles ACK et BCK, on a

KD =x'-+-/^'— 2/i-rcosa, KE i=^*4- /j* — 2^/^cos6i

. donc, puisque KD = KE,

( 2 ) x^ ~ 1 lix ces a --- / ' — 2 hy cos6.

En éliminant y entre les équations (i) et {2), on trouve

(3) x^ — 2/i cosa..T* -t- 7.rhah co5S..r — r^à*^ li^ ^. o.

Cette équation, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, Tune positive, lautre nf'galive. Cette dernière doit être rejetée, puisque la ligne DE doit <^lre comprise dans l'intérieur du triangle ABC. D'après la règle de Descartes, si les angles a et S sont aigus et si Téquation (3) a touies ses racines réelles, elle aura trois racines positives et une racine négative. Celleci est inadmissible^ et Ton rejettera de même comme cirangcre à la question une racine qui surpasserait a ou qui donnerait pour y une valeur plus grande que i. Il y a donc au plus trois positions d'équilibre pour lesquelles le sommet scid est plongé dans le liquide.

727. Le problème précédent revient à mener par un ' point donné K une normale à une hyperbole ayant pour

CINQUANTE-CINQUIÈME LEÇON. 3o9

asymptotes CA et CB. Eu efl'ei, si l'on mène dans Tangle ACB différentes droites, telles que DE, formant des triangles DCE équivalents entre eux, le milieu de chaque droite DE se trouve sur une hyperbole ayant G A et CB pour asymptotes, et celte courbe est tangente à DE. La droite KF étant perpendiculaire à DE, la question revient à mener par le point K une normale à cette hyper* bole. On sait qu^on peut en général en mener quatre, dont Tune aboutit à la branche située dans Tangle opposé à Tangle ACB.