MOUVEMENT DES FLUIDES
Équations générales du mouyenient des fluides. — Mouvement dans une hypothèse particulière. — Mouvement permanent d*nn fluide.
ÉQUATIOnS GÊWÉKALES DU MOUVEMENT.
739. Les équations d'équilibre des fluides sont fondées sur la propriété qu'ils ont de transmettre également en tous sens les pressions appliquées à leur surface, et sur celle d'exercer sur chaque élément de surface autour d*un point quelconque de leur masse, en vertu des actions moléculaires, une pression égale en tous sens et normale à Félémcnt de surface qui le supporte. Certains faits semblent indiquer que cette dernière propriété n'a pas toujours lieu quand le fluide est en mouvement, c'està-dire que la pression peut n'être pas normale à Télément sur lequel elle s'exerce, ni être la même dans toutes les directions autour d'un même point. Cependant on peut admettre que cette propriété des fluides a encore lieu, quand le mouvement n'est pas très-rapide, les expériences s' accordant assez bien avec les résultais qu'on déduit de cette hypothèse.
Quand on veut déterminer le mouvement d'un système de points dans l'espace, on se propose ordinairement de trouver des équations qui servent à exprimer les coor-
SaÔ COURS DE MÉCANIQUE.
données de chaque point en fonction da temps. Maïs, au lieu de suivre dans son mouvement une seule et même molécule, il est plus avantageux de déterminer la vitesse de la molécule fluide qui, au bout d'un temps quelconque, passe par un point pris à volonté dans Tespace occupé par le fluide, ainsi que la pression et la densité du fluide en ce même point, qui reste fixe. Soient t,j', z les coordonnées d'un point m; fx la masse de la molécule fluide qui se trouve au point m après le temps t. Désignons par X, Y, Z les composantes, rapportées à Tunité de masse, de la force qui agit sur la molécule fi. Les composantes de la force motrice seront Xfx, Yfi, ZfX. Il faudra cinq équa* tions pour déterminer les composantes i/, v^ w de la vitesse du point, sa pression p et sa densité p.
740. Le principe de d'Alcmbert fournit d'aboi^ trois équations. Soient u^dt^ v'dt^ w'dt les accroissements de II, v^ IV, lorsque le temps t augmente de dl. Les composantes de la force perdue sont (X — w')(x, (Y — ^')y^%
(Z — iv') a, et celles de la force eflective -^-? -~-5 -7--- ^ ' ^ €us p djr p as p
Donc, d'après les équations d'équilibre des fluides, on aura
Pour obtenir u', v\ w', on doit différentîer u, i', w, en regardant Xj y^ z comme des fonctions de f, dont les accroissements sont udt^ vdt^ %vdt, en sorte que dx = udty etc. On aura donc
/in (in du du
cU dx df dz
, , , , dtf dv dv dv
^ ' ^ dl dx df dz .
. dw dw dw div
dt dx djr €iz
CINQUANTE-SIXIEME LEÇOW. 3^7
et, par conséquent,
i dp ^ fia du du da
^C— X U- tf- IV -—y
p a.v dt dx . dy dz
,*. f ^ dp ^ dv dv do dv
(3) J^JL^Y—- u- (^- (v~,
^ ' ^ 0 djr dt dx djr dz
l dp d(v dw dw dcv
--7-=Z u- P- ti^-p.
fi dz dt dx djr dz
741 . Il reste encore à trouver deux équations d'équîlîbre ou une seule si p est constante. Nous trouverons cette équation en exprimant que le fluide est continu.
Concevons dans l'espace occupé par le fluide un petit parallélipipède me (Jig* 180, p. 286). A chaque instant une partie du fluide sort de ce volume, et une autre y entre. La masse du fluide contenue dans ce parallélipipède, p dx dy dz^ au temps f, devient {p-\-'Y\dxdydz au temps t-k-dt. L'accroissement de masse est donc -j dt dx dy dz. En vertu du mouvement il passe par la face djdz une tranche fluide pudtdydz. Il passe par la face opposée une masse (pwH ^j dtdjdz. L'excès de la quantité qui entre sur celle qui sort est donc y- dxdy dz dt^ en supposant p u constant dans toute
l'étendue de la face mabg et de sa parallèle. Or cette supposition est permise, car si Ton considère deux points h et k pris sur les faces md et <ze, la différence des valeurs à^pu en ces deux points surpasse la différence des valeurs de pu aux points m et a d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même. On obtiendrait des expressions analogues pour les quantités de fluide acquises par les autres faces. En exprimant que Taccroissement total de la
masse est égal à -j-dxdjdz et divisant par dx dj dz dt,
on aura donc
, ,. dp dùu dùP flùw
^^' lit dx dy dz
Cette équation est connue sous le nom adéquation de continuité.
742. Si la densité du fluide est constante, ce qui arrive pour les liquides homogènes et incompressibles, Téquation précédente devient
du do dw
dx dy ilz
Elle suffit avec les équations (3) pour déterminer toutes les inconnues en fonction de j:,y, z, t,
743. Si le fluide est incompressible, mais non homogène, la densité de chaque molécule est variable dans le cours de son mouvement; mais elle varie à chaque instant avec le temps dans un point déterminé et fixe m. La densité p au point m sera donc une fonction des coordonnées de ce point et du temps; mais on peut considérer momentanément x, j^, z comme reprt^sentant les coordonnées d^une même molécule dans son mouvement. Ces coordonnées deviennent fonction de f, et leurs dérivées par rapport à cette dernière variable sont respectivement i/, p', \v. En difTérentiant la valeur de p sous ce point de vue, on aura donc
(5) î/ -t- -£ « -4- -/ P + -^ rt» z= o.
^ ' dt dx dy dz
En vertu de cette relation, Téquation (4) revient aux deux suivantes :
dp dp du dp
. , du dp tUv
^" dx dy dz
CIWQTJANTE-SIXIÈME LEÇON. 3sig
qui, jointes aux équations (3), serviront à déterminer les cinq inconnues u, f^, w, p^ p en fonction de x, y, 2, t.
744. Dans le cas d'un fluide élastique et compressible, comme l'air, on aura encore cinq équations en joignant aux équations (3) et (4) la relation p = hp qui existe entre la pression et la densité, le coeflicient k ne dépendant que de la température de la masse gazeuse.
745. Ces équations suffisent pour déterminer le mouvement si le fluide est indéfini et si Ton connaît son état initial, c'est-à-dire les valeurs de w, f», w, p, p en fonction de a:, jr^ z et pour t=o. Mais si le fluide est terminé, il faut y joindre des conditions particulières. On suppose que les molécules en contact avec une paroi fixe ou mobile y restent indéfiniment et que les molécules qui appartiennent à la surface libre ne cessent jamais d*en faire partie. Soit y(f, x, y, z) = o Téquation d'une surface sur laquelle un point du fluide doit toujours demeurer* On a
/(/ 4- dty X -h u dty y -h vdty z 4- wilt) =r o,
équation qui exprime que la molécule sera encore sur celle surface au bout du temps t -H dt^ et qui donne
df df df df
Ut dx dy ftz
Si la paroi est fixe, ~- disparaît, et 1 équation se réduisant à
df df df
-— tt-4--— *»-r----«'=rO dx df dz
montre que la vitesse du point est à chaque instant dirigée suivant une tangente à la surface.
Jl reste à considérer la surface libre du liquide, ordinairement soumise à une pression u qui est la même pour tous les points, mais qui peut varier avec le temps. On
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aura pour cette surface p — 0=0, d'où
flp dp fin dp drs
at dx dy dz iii
équation qui détermine ct.
746. On a considéré jusqu'ici x, y^ z comme élant les coordonnées d'un point déterminé pris à volonté dans l'espace occupé par la masse fluide. Sî l'on veut obtenir le mouvement d'une molécule particulière, ses coordonnées x, Y^ z cesseront d'être des variables indépendantes. Elles dépendent du temps, et pour les connaître il faudra intégrer les équations simultanées,
f/r dr dz
dt ' dt ' dt •
après y avoir remplacé 11, m, %v par leurs valeurs générales en fonction de x^ y^ z obtenues comme on l'a dit précédemment. Les valeurs de x^y^ z renfermeront comme constantes arbitraires les coordonnées initiales de la molécule.
