L'intégrale de l'équation (i) est

(2) a ^z y(x -r- «/) -h ^I» (x — at).

On déterminera les fonctions cp et ^ si Ton connaît le déplacement initial u pour t = o de chaque tranche à

du.

partir de sa position d'équilibre et sa vitesse initiale -3-9

qui seront des fonctions données de x» Mais, au lieu da déplacement n pour ^ = o, nous supposerons donnée la

dilatation initiale — pour f=:o. Ainsi l'on doit avoir

pour f = o

CHfQCÀNTE-SEPTlÈHS LEÇOH. 343

Or la formule (2) donne

— = a[ç'(x-i-aO - -yix — at)].

En faisant I = o, on aura

et conséquemment

761. Supposons que la partie primitivement ébranlée s'étende dea:=o k x = l seulement. Alors les fonctions

Fi(j. 190. ^ \ / , ^ '

par conséquent aussi

©'(x) et y (.r) sont nulles pour toutes les valeurs de x non comprises entre o et /.

Considérons d'abord un point situé au delà de rëbranlement initial OL du côté des x positives. Son x étant plus grande que /, x -h at sera à fortiori plus grande que /, t étant positif; on aura par conséquent

9' (x -h at) = o et

-=f(x-aO,

— = - af (or - at),

et pour que ces valeurs de - et — ne soient pas nulles,

3 { i COVBS DE MÉCAiriQtTE.

il faut que x — at soit comprise cnti^ o et /, ou qu'on ait x'^at et XK^^tit + l^ c'est-à-dire qu^au bout du temps t il n^y a de mouvement au delà de OL que dans une portion CD du^ tuyau d'une longueur égale à /. Cette portion, qu'on appelle onde^ est constituée d'une manière invariable qui ne dépend que de la fonction ^'. Elle s'éloigne indéfiniment de OL avec une vitesse constante a; il ne faut pas confondre ce déplacement de l'onde avec le mouvement d'une molécule qui ne dure que pendant le temps-; car il résulte de x — af >>o et <[/ qu'une même molécule ne commence à se mouvoir qu^après un temps égal à ' et ne revient au repos qu'a-

près un temps égal à - •

Pour une tranche quelconque de cette onde, il y a un

rapport constant a entre la vitesse et la dilatation, car on

a la relation

du du

dt dx*