ÉQUATION DU MOUVEMENT

759. Dans Tétat naturel d'équilibre d*un gaz, sa force élastique zs est égale à gmh, g étant la pesanteur, m la densité du mercure et h la hauteur de la colonne de mercure qui fait équilibre à la pression de ce gaz.

?]ous supposons que les molécules du fluide en repos qui sont dans un même plan perpendiculaire aux arêtes du tuyau, se déplacent d^un mouvement commun parallèlement aux arêtes.

Soient X et a: + ^ les distances à un point fixe de deux plans infiniment voisins, M, M', perpendiculaires

Fig, 189. aux arêtes, qui com-

^ ^ prennent entre eux

une tranche dont la

0 M M' N N' * masse est pctdx^ en

désignant par p la densité du gaz en repos et par a la section transversale du tuyau. Après le temps t, cette tranche s'est transportée en NN'^ nous désignerons paru le déplacement IVIN des molécules qui étaient d'abord dans le plan M \ u sera une fonction des deux variables X ei t qu'il faudra déterminer. L'épaisseur de la tranche MM' est dxy et celle de la tranche NN' est dx + du ou

dx [i -t'-r-] ' et comme ces tranches contiennent la

CINQUAKTE-SEPTIÈMB LEÇON. 34 I

même masse de gaz, les forces élastiques du gaz en M ei en N doîviînl, d'après la loi de Mariotte, êlre en raison inverse des volumes des deux tranches, et par conséquent de leurs épaisseurs, ce qui donne, en appelant/? la force élastique ou la pression du gaz en N rapportée à Tunité de surface,

• p dx I

o dx -^ du du

en négligeant le carré de la dilatation -j- qui est très-

dx *

petite.

La pression sur la face N de la tranche MN' étant ap

ou ats [ I — — j > on aura la pression ap' sur l'autre face

en changeant x en x-h dx dans l'expression de ap^ ce qui donne

/ du d^ii \

OLp r:r a O I 1 ; — dX | •

'^ \ dx dx' )

d^n La différence de ces deux pressions au --r-^ dx est la

force motrice de la masse de gaz comprise dans la tranche NN', masse égale à padx. En divisant la force motrice par la masse, on aura pour Texpression de la force accélératrice

Si la tranche n'était pas considérée comme solide, cette force accélératrice serait celle du centre de gravi le de cette tranche MN', en y supposant toute la masse réunie. Or on peut dire que ce centre se meut comme la base N dont il est infiniment voisin.

3^2 COUBS VF. MÉCANIQUE.

Si la tranche est sollicitée encore par une force accélératrice étrangère, on aura pour force accélératrice

- —j -h X, qu il faudra égaler a — — - ou simple-

ment a -— ? puisque x ne varie pas avec t.

On a donc pour le mouvement d'une tranche Tcquation

d* di

tn d^u p dx*

et,

s il ny a

pas

de foi

rce étrangère^

di^

p dx'

d'il dt*

d'il

posant

CT gmh