CBNTRE DE GRAVITÉ DES FIGURES PLANES

74. Les formules (4) se simplifient lorsque la surface est plane. Si Ton prend le plan de cette figure pour plan des x^, on aura

djn ' dy et les formules (4) et (5) se réduisent aux suivantes :

dxdy^

dxdjr^

y dxdy.

Fig. 28.

75, C'est ce que Ton peut d'ailleurs trouver directement. En effet, soient y et y' les ordonnées des courbes CD et C'iy, correspondant à une même abscisse, et posons

OA = fl, OB = b.

On a d'abord

Jfb pi pr'

Maintenant si , par les points infiniment voisins M (a:,/) et W [x +dx^ y-^- dj) pris sur la surface, on mène HH' et KK' parallèles à Taxe Oy^ on formera une tranche HKH'K' qui différera infiniment peu du rectangle HR'I'I obtenu: en menant HI et H'I^ parallèles a Ox.

Le centre de gravité g de celte tranche est infiniment voisin du centre de gravité du rectangle, et par suite du milieu de HH\ On peut donc, en négligeant des quantités

infiniment petites, prendre x et pour les coor*

CINQUIÈME LEÇOlf. 4?

données da centre de gravité de la tranche HKK'H^; or cette tranche a pour mesure (jr — jr') dx. Donc son moment par rapport i Ojy est (y — y)^ dx^ et son moment

par rapport à Ox est - [y* — j'*) dx, ce qui donne

formules qui reviennent à celles qu'on a trouvées plus haut (74).

Cette démonstration pourrait être rendue tout à fait rigoureuse par la méthode des limites.

▲PPLIGÀTIOnS. TAIANGLE.

Fîg.ag.

76. Prenons deux axes rectangulaires Âx, A^, passant par le sommet Â, et dont Pun Âx soit perpendiculaire au ■ côté BC. Soit AD = A. Nom-

mons Xi et yi les coordonnées du centre de gravité G, et A la ij D « surface ABC. Soient

(i) y=mxy y'z=im'x

les équations des droites AB et AC. On aura

Jq Jq

{,y~X')xdx= i {m — m')x'dx—

d'où l'on conclut

48 COURS DR M^.CANIQUB

Or le point F, milieu de BC, a pour coordonnées