Soient M (x,y, z), M'(x-^ Ax^y-h^fj x-^Az
Fig. «7.
deux points voisins pris sur une surface rapportée à trois axes rectangulaires ; soit eo rclëmcnt de surface MmM'm' intercepté entre quatre plans, parallèles ê deux à deux aux plans zOx et zOy.
Quand les accroissements Ax
et Aj^sontinGniment petits,ci) devient r/jr</)^^i + ^*H-</',
p eiq désignant les dérivées partielles — et — -, on aura donc
(i) w=r AirAj(v/7T>M^-4-a),
où a représente une quantité qui devient nulle à la limite. Le z du centre de gravité de MmM'm' peut être représenté par z + Sy S devenant nul en même temps que Ax et A/, car ce point est compris entre deux plans parallèles au plan des xjr menés par le point le plus haut et par le point le plus bas de Télément M.mM'm\ Dès lors le moment de l'élément par rapport au plan xOy est
(z-\-^)àxAj' (y^i-f-//>-f-7'-t-a)
OU
y étant une quantité qui s'évanouît avec A. r et Ay. Si Ton décompose de la même manière toute la surface considérée, en appelant X Taire de cette surface et X|, Xn ^i les coordonnées de son centre de gravité, on aura
(2) >z, = 22z ^'i -f- p^-\' 7^ A.r Aj -I- TL^^x A/.
Or, puisque celte équation subsiste, quels que soient Ax et Ay, elle sera encore vraie quand ces accroisse-
Cl.NQUlfeMC LEÇOir. ^5
ments seront infiniment petits. Mais alors
donc enfin
\Xi
(3) lz^= j l zyji-^p^-^q^dxdr
En opérant de cette manière par rapport aux trois plans coordonnés, on aura, pour déterminer les inconnues Xi, Ju ^i» 1^ équations
u tenant ja place de v't^-h p* -4- 9* dx dj. On a d*ailleurs
(5) \= j i^i-hp^-hg'dxdx.
73. Quant aux limites de ces diverses intégrales, elles sont faciles à assigner. Si
sont les valeurs de jr correspondant à deux points qui, sur la projection du contour de la surface sur le plan X) , ont le même x, il faudra intégrer d'abord par rapport à jr^ en 'considérant x comme une constante, depuis jr = (^ {x) jusqu'à jr =^^ {x). On intégrera ensuite par rapport à x, depuis x = a jusqu'à x = b^ en supposant que
soient les équations des plans menés parallèlement au plan des zy^ par les points extrêmes du contour, a étant moindre que b.
COVBS DE MÉCÀniQITB.
