X -4- »M/, -h X, -t- X, — o, Y - «Ma:, -t- Y, -f y, - o
zp-
- u \^ /wxz -
Za
- W V /WJ2 =^
xp -
Ya
-\~ w \ /wr* r
Ces équations déterminent X, et Y,, X, et Y, et la somme Z, + Z,, sans déterminer séparément Z^ et Z,.
544 à 3tô. Conditions four que l'axe n'éprouve aucune pee- CU5SI0N. — Centre de percussion. — i** La direction de la percussion doit être perpendiculaire au plan qui passe par Taxe fixe et par le centre de gravité du corps.
2° Ce plan doit ôtre un des axes principaux pour le point où il rencontre le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force instantanée.
3° Enfin la distance de cette force à l'axe doit être égale à a -I — ^
a étant la distance du centre de gravité du corps à Taxe et MX' le moment d'inertie du corps relativement à un axe mené par- ce centre de gravité parallèlement à l'axe fixe.
547. On appelle centre de percussion le point auquel la percussion doit être appliquée dans le plan passant par Taxe et le centre de gravité pour qu'il n'y ait pas d'effort exercé sur Taxe fixe : la
distance du centre de percussion à l'axe fixe est a H *
Si l'axe passait par le centre de gravité, il éprouverait toujours une percussion.
548. Réciproquement, si le corps est en mouvement autour de l'axe, on pourra Farrèter brusquement sans qu'il existe aucune percussion contre l'axe en appliquant au centre de percussion une force instantanée égale à uiM/?, perpendiculaire au plan mené par Taxe et par le centre de gravité du corps.
549. Condition pour qu'il n'y ait de percussion qu'en un point DE l'axe. — Si ce point est le point H, et si Z = o, en posant
D ^ V //îjz, E = \nijcz,
DES MATIÈUBS. 443
l'équation de condition est
DY4-EX = wMtf.
Si 02 est un axe principal d'inertie pour le point 0, la percussion est appliquée au point 0.
ROTATION d'un CORPS AUTOUR d'cN AXE (sUITE).
S50. Rotation d'un corps sollicité par des forces quelconques. ~ Soient X, Y, Z les composantes de la force motrice P du point m(Xjjr, z), on a
mr^
551 à 553. Pressions sur l'axe. — On applique à deux points quelconques 0 et H, pris sur l'axe, deux forces R. (X,, Y^, Z^) et R,(X„ Y,, Z„), égales et contraires aux pressions exercées sur ces deux points à chaque instant du mouvement. On aura, en posant OH = hj en désignant par (^o jr^ 2,) le centre de gravité du système et par M sa masse ,
2x + ^M/.4-o>'Mx..4-X.-,'-X,-o, ^Y-Jmot.^-cu'Mj. + Y. + Y, = 0, 2 Z + Z. + Z, - o,
2 {z/ - Ys) -f- ^ 2 "'-^2- w' 2 ^y'^- Y»'* = °>
55i. Cas ou il n'v a pas de forces motrices. — Les résistances R( et R, se réduisent à deux forces perpendiculaires à Taxe, et font équilibre aux forces centrifuges de tous les points du corps qui agissent sur l'axe perpendiculairement à sa direction. La force tangentielle est nulle pour chaque point. Les résistances sont proportionnelles au carré de la vitesse constante &>.
555. Si un corps retenu par un seul point fire commence à tour^ ner autour d'un des axes principaux relatifs à ce point , il conti'^ nuera à tourner uniformément autour de cet axe comme s'il était fixe,
La pression sur le point 0 est dirigée dans le plan qui passe par Taxe et par le centre de gravité.
556. Pour que le point 0 ne supporte aucune pression, il faut et il suffit que le centre de gravité soit sur l'axe de rotation, et alors le mouvement ayant commencé autour de cet axe, supposé fixe, continuera uniformément autour du même axe lorsqu'on le rendra entièrement libre.
557. 558. Cas on les forces motrices se réduisent a ux COUPLE. — Les conséquences précédentes subsistent quand les forces motrices se réduisent à un couple situé dans un plan perpendiculaire à Taxe.
559. Un corps retenu par un point fixe 0 et sollicité par un couple ne tend pas à tourner autour d'une perpendiculaire Oz au plan de ce couple, à moins que cette perpendiculaire ne soit l'un des axes principaux relatifs au point 0.
560 à 563. Mouvement du treuil.
pendule composé.
565. Pendule composé. — Équation du mouvement* — On nomme pendule composé un corps qui peut tourner autour d'un axe fixe horizontal.
Prenons Taxe fixe Oz pour axe des z\ pour axe des x une hori-
Fî{j. i66.
zontale Ox perpendiculaire à Os, et pour axe des y ^Q^ verticale 0/ dirigée dans le sens de la pesanteur. M étant la masse totale du corps et G le centre de gravité, abaissons GÂ perpendiculaire sur Oz, menons la verticale AD et abaissons sur cette droite la perpendiculaire GD. Soit G^ la position initiale de G, MX-' le moment d'inertie par rapport à un axe passant par
le point G et parallèle à Oz. Posons GA = a, DAG = 0, DAG, = a;
on a
et l'on trouYO
û étant la vitesse angulaire initiale.
566. Pendule cohposb BAMExé au peadule simple. — Supposons la longueur / déterminée par 1 équation
Alors le pendule composé ou plutôt la droite ÂG et le pendule simple de longueur / auront le même mouvement angulaire, pourvu que les
valeurs initiales de -?- soient les mêmes.
ai
567. Axe d*cscillation. — Si da/is le plan passant par l'axe cl
par le centre de gravité du pendule on mène une droite IBI' parallèle à cet axe et à une distance de celui-ci égale à I, chaque point de cette droite se mouvra comme s*il ne faisait pas partie du corps et qu'il fût simplement lié à l'axe par une droite rigide et sans masse.
La droite IBr est nommée Vaxe d'oscillation du corps, correspondant à Taxe de suspension Oz, Le point B de cette droite, situé sur la droite AG perpendiculaire à Taxe de rotation, se nomme centre d' oscillation. Ou l'obtient en pro-
longeant AG d'une longueur égale à — •
568. Les axes d'oscillation et de suspension sont réciproques^ c'est-à-dire que si l'on faisait osciller le corps autour de II', l'axe do suspension primitif Oz deviendrait l'axe d'oscillation.
569. Étant donné l'axe de suspension d'un corps, on peut trouver, par Texpérience, Taxe d'oscillation correspondant.
570. Iljra une incité d'axes autour desquels les petites oscilla' lions sont de même durée,
571. Axe de la plus courte oscillation. — L'axe de suspension est perpendiculaire à l'axe du plus petit moment d'inertie A relatif au centre de gravité. On a
PBNDULB CONIQUE.
572, 573. Penxule conique. — Équatioxs du mouvement. — Un point matériel m est assujetti à se mouvoir sur la surface d'une sphère dont le centre est au point 0, et dont le rayon est /. En désignant par N Ta résistance de la surface, et Taxe des z étant pris dans le sens de la pesanteur, les équations du mouvement sont
d^x N:r d^r Nr d^z Nz
574 à 576. Cas ou le point pesant reste dans un plan horizontal. — Le point décrit un cercle, intersection de ce pian et de la surface sphérique.
La vitesse v est constante et le mouvement circulaire est uniforme.
cit' ^ dt' '
On a
La durée de la révolution est égale à air i /-• 577 à 580. LvTÉGRATiON DES équations du mouvement. — On a
±ldz
i étant Tangle que fait la direction de la vitesse p avec la perpendiculaire au plan mOz, on a
