PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT RELATIVES AUX AIRES

606. Relations E?rrRE les quantités de mouvement d'cn système. — Dans un ensemble de points matériels qui peuvent se déplacer comme un système solide, on a

Ces équations subsistent s'il y a dans le système un point fixe, pourvu qu'il soit pris pour origine des coordonné^.

607. Lorsqu'en supposant le système solidifié, les forces qui le sollicitent se font équilibre, ou bien encore lorsqu'elles se réduisent à une force unique passant par l'origine des coordonnées, la somme des moments des quantités de mouvement des masses du système par rapport à une ligne droite quelconque est constante.

608. Si Ton considère comme des forces les quantités de mouvement qui animent les différents points du système, qu'on les compose comme si elles étaient appliquées à un corps solide, on trouvera toujours la même résultante et le même couple résultant par rapport à une même origine. Le moment de ce couple résultant est

A = /c*-hc'^+c:% et son plan, perpendiculaire à la droite qui fait

c' c' c avec les axes des angles ayant pour cosinus j? r» tj a pour

équation

c'x 4- c'jr 4- rz = o,

r, c', c" étant les sommes des quantités de mouvement par rapport aux axes des z, ^, x.

609. Principe des aires. — Quand les forces motrices appli' quces à un sjrstème se font équilibre en supposant le système solidifié, ou bien quand toutes ces forces ont une résidtante unique passant par l'origine des coordonnées, la somme des aires décrites par les projections du rayon vecteur sur chacun des plans coordon» nés multipliées respectivement par les masses des points correspondants est proportionnelle au temps» C'est ce qu'on appelle le principe de la conservation des aires.

STtRM.-»/«^C. II. ^9

45o TABLE ANALYTIQUE

610. Cette loi a lieu en particulier quand les forces motrices du système se réduisent à des actions mutuelles entre ses différents points ou à des forces constamment dirigées vers un même point fixe, pourvu qu'on prenne celui-ci pour Torigine des coordonnées.

611 , 612. Du PRLXGIPE DES AIRES BANS LE MOUVEMENT RELATIF.

— Prenons pour origine un point mobile avec le système 0^. Désignons par a:^f x^^ z^ ses coordonnées par rapport à un système fixe Ox, O7, Oz, Soit m un point ayant pour coordonnées x^ y^ z dans l'ancien système et S, 19, Ç dans le nouveau composé de trois axes 0(^1, OijTn O^z^ parallèles aux anciens et mobiles avec le point 0,. On aura

si 0, est le centre de gravité, ou si Ton prend pour origine mobile un point qui ait dans Tespace un mouvement rectiligne et uniforme, enfin si la force accélératrice du point 0, est constamment dirigée vers le centre de gravité du système.

613. Si Torigine des coordonnées mobiles est choisie de Tune de ces trois manières, on aura, par rapport aux axes dont Torigine est mobile, des propriétés semblables à celles qu'on a trouvées pour des axes fixes.

614. Plan du maximum des aires. — Dans un système de points en mouvement pour lequel le principe des aires a lieu, en prenant pour origine un point fixe ou mobile suivant les conditions établies précédemment, il existe un plan fixe tel, que la somme des aires décrites pendant un temps quelconque par les projections des rayons vecteurs des points mobiles sur ce plan, multipliées par leurs masses, est plus grande que pour tout autre plan de projection. Ce plan est toujours le même , quel que soit le temps écoulé. On l'appelle plan du maximum des aires ou plan invariable. Son équation est

c^x -r c*x -i-cz — o

et la somme^/wft) relative à un autre plan de projection se déduit

de celle qui se rapporte au plan tt, en la multipliant par le cosinus de Tangle des deux plans.

DES MATIÊllES. 4^1

Ce plan est le même que celui du couple résultant des quantités de mouvement du système solidifié (602).

DES FORGES YIYES DkHS LE MOUVEMENT d'uN SYSTÈME.

615 à 617. Principe des forces vives. — Dans tout système dont les liaisons sont indépendantes du temps, r accroissement de la somme des forces vives de tous les points, pendant un temps quelconque, est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces pendant le même temps,

618. Conséquences du principe des force*" vives. — Dans un système, assujetti à des conditions quelconques, mais qui ne dépen» dent pas explicitement du temps, sUl n'y a pas de forces motrices ou si les forces motrices se font continuellement équilibre, la somme des forces vives reste constante.

Ce principe est connu sous le nom de principe de la conservation des forces vives,

619. Si la fonctiony'(X^x4-Yr(r-f-Zrf2) est la différentielle

exacte d'une fonction/ des variables x^ y, z, ^',. . ., considérées comme indépendantes ou comme liées entre elles par les équations L = 0, M = o, . . . , lorsque le système passe d'une position à une autre, V accroissement de la somme des forces vives ne dépend que des coordonnées des points dans ces deux positions,

620. Si les points mobiles occupent la même position à deux époques différentes t et t^, la somme des forces vives aura la même valeur à ces deux époques, pourvu que, les coordonnées des points reprenant les mêmes valeurs, la fonction /(x, j, z, j?', ...) re* prenne aussi la même valeur.

621. L'expression^ (Xgfcc + Ydy + Zdz) est une différentielle

exacte quand les forces motrices sont constamment dirigées vers des centres fixes , et qu'elles sont fonctions des distances de leurs points d'application aux centres. Cela arrive aussi quand les forces proviennent d'attractions ou de répulsions mutuelles entre les points du système, actions dont les intensités sont fonctions des distances des points entre lesquels elles s'exercent.

452 TABLE AHALYTIQCB