YIBRATIONS DES GAZ DANS LES TUYAUX CYLINDRIQUES
759. Équation du uouvement. — Dans Tétat naturel d'équilibre d'un gaz, sa force élastique a est égale à gnih^ g étant la pesanteur, m la densité du mercure et h la hauteur de la colonne de mercure qui fait équilibre à la pressien de ce gaz.
Nous supposons que les molécules du fluide en repos qui sont dans un même plan perpendiculaire aux arêtes du tuyau, se déplacent d'un mouvement commun parallèlement aux arêtes.
Nous désignerons par u le déplacement MN des molccules qui p |g étaient d'abord dans le
plan M; par p la force
J"^'^ ^"^ élastique ou la pression
2i^i±^ Sl:^ du gaz en N rapportée à
lunité de surface, par /»
la densité du gaz.
Le mouvement d'une tranche, s'il n'y a pas de force étrangère, sera donné par l'équation
f£jt __ 2 </*« en posant
TfiO. Cas du tuyau indéfini dans les deux sens. — L'équation du mouve.nent est
Kn siiii[)u<ant pour / =- o,
7r. = f(^) et :77=/.(-^)»
on aura
dx ' ^ ' dt
761. Supposons que la partie primitivement ébranlée s*étende deu::rroàa:=:/ seuloment. Cette portion, qu*on appelle onde,
est constituée d'une ma- Fiç- »9o- nière invariable qui ne
~: j;; ^ ^ ^ ;;■" dépend que de la fonc-
tion 4''- Elit' s*éloigne indéfiniment de OL avec une vitesse constante a\ il ne faut pas confondre ce déplacement de Tonde avec le mouvement d'une molécule
qui ne dure que pendant le temps - •
762. Le mouvement se propage aussi vers les x négatives par une onde CD' dont la nature dépend de la fonction 7' et qui se transporte à gauche du point 0 avec une vitesse uniforme égale à a.
Une même molécule est en mouvement pendant un intervalle de
temps égal à -? depuis t > — jusqu'à / < ^ •
a il u
763. Le mouvement se propagerait par une seule de ces deux ondes, si l'ébranlement initial était tel, qu'on eût, dans la partie OL, f'(x) = o ou ^'(x) — o, ce qui, d'après les formules (4)> revient à supposer la relation
tin (in fin iiu
—- =z^a -r ou — ^ a -^ pour / ^ o.
764. Si l'ébranlement initial avait lieu dans plusieurs parties du tuyau séparées par des intervalles en repos, il suffirait de supposer les fonctions 7' (x) et ^1^' (x) nulles dans ces intervalles pour rentrer dans le cas qui précède d'un ébranlement limité ; chaque partie ébranlée doit donner naissance à deux ondes qui s'en vont à droite et à gauche avec la vitesse uniforme a.
765. 766. Tuyau fermé a itne EXTRÉMrrÉ et lndépini uans un SENS. — Si l'ébranlement initial est renfermé dans un espace limité KL entre les abscis-
f'itf- *9'- ses X* et /■ -f- /, il donnera
~î i' o ^L K naissance à deux ondes
animées des vitesses a et — <7 : il y aura deux ondes symétriques de celles-ci, s'écartant à droite et à gauche de l'intervalle K'L' symétrique de KL.
Celles qui s'éloignent de l'origine 0 n'éprouveront aucune altération. Quant aux deux autres, elles arriveront en même temps en 0, et, continuant leur route, elles se composeront en se pénétrant;
pais ces deux ondes, après s'être traversées et séparées, continueront leur marche sans altération.
L'effet produit est le même que si les diverses tranches de l'onde, qui s'approche du plan fixe 0, se repliaient sur ellos-méones en conservant la même densité et prenant une vitesse égale en sens contraire. C est en cela que consiste la réflexion du mouvement sur un plan fixe.
767. Tuyau indéfini dans un sens et ouvert dans un milieu GAZEUX de densité CONSTANTE. — On admet que la force élastique du gaz à l'ouverture 0 du tuyau est la même que celle du gaz extérieur en repos.
Si l'ébranlement initial n'a lieu que dans une étendue limitée, il y aura dans le tuyau réel une onde s'éloignant indéfiniment de l'origine, et dans le tuyau prolongé indéfiniment, deux autres ondes marchant vers l'origine, se pénétrant et se traversant sans s'altérer, de sorte que dans le tuyau réel à un instant quelconque se trouvera Tonde qui se dirigeait d'abord vers l'origine et qui s'y réfléchit ensuite de manière à former une nouvelle onde dirigée en sens contraire; les vitesses dans les différentes sections sont les mêmes et de même sens que quand l'onde s'approchait de l'origine, tandis que le dilatation change de signe.
C'est en cela que consiste la réflexion du mouvement sur un milieu de densité constante.
768, 769. TuTAu fermé a ses deux extrémptés. — L'ébranlement initial donne naissance à deux ondes qui marchent en sens inverse et vont successivement se réfléchir aux deux extrémités.
Après avoir subi deux réflexions et parcouru des chemins égaux à deux fois la longueur du tuyau, elles viennent, au bout d'un in-
tervalle de temps égal à — ? reproduire, en se composant, l'état initial ; et cet effet se répétera de nouveau indéfiniment.
770. Tuyau limité ouvert a ses deux extrémités. — L'état du tuyau est encore périodique et redevient le même après chaque
intervalle de temps égal à —
771 . Tuyau limité ouvert a une extrémité et fermé a l'autre. — L'état du tuyau ne redevient le même qu'après un intervaliO de
temps égal à — •
fin.
STATIQUE (IP Partie).
i. Un solide étant soumis à I*actioDde forces données, trouver le lieu des points tels qu'en y transportant les forces parallèlement à elles-mêmes on donne naissance à un couple dont Taxe soit dirigé suivant la résultante des forces; ce lieu s'appelle axe central, SG.
S. Quand trois forces se font équilibre, elles sont dans un même plan ; quand quatre forces se font équilibre, elles sont sur un hyperboloïde. SG.
3. Étant donnés deux systèmes de forc&<^ équivalents P,P',P,. . et Q, Q', Q', . . . , la somme des tétraèdres qui ont pour arêtes opposées les droites représentant les forces du premier système combinées deux à deux est égale à la somme analogue que fournit le second système ; il faut toutefois regarder comme négatifs les volumes de certains tétraèdres quand les forces qui en forment les arêtes opposées ont un moment négatif Tune par rapport à Tautre. SG.
4. Quatre droites admettent en général deux transversales communes, et cinq droites n'en admettent pas ; soient toutefois cinq droites a, ^, c, d^ e rencontrant une droite t\ b^c,d, e auront une seconde transversale commune a autre que / ; de môme c, d, e, a en auront une seconde b\ et ainsi des trois autres systèmes de quatre droites : démontrer que a*, b\ c*, rf*, e' ont une transversale commune. SG.
5. Une tige pesante et homogène s*appuie par ses extrémités contre un plan horizontal et contre un plan vertical parfaitement polis ; elle est perpendiculaire à l'intersection des deux plans fixes et reliée à cette intersection par un fil partant de Tun de ses points, qu on donne, et situé dans le plan vertical de la tige : tension du fil quand il y a équilibre. PJ.
•4 7 s Énoncés de problèmes.
6. Une tige pesante et homogène passe entre deux chevilles à des hauteurs différentes et s'appuie par son extrémité inférieure sur un plan horizontal : calculer les pressions exercées sur les chevilles et sur le plan. PJ.
7. Une porte peut tourner autour de deux gonds A, B, situés sur une droite non verticale : calculer la force qui doit agir normalement à la porte pour qu'elle fasse un angle donné avec le plan vertical qui passe par AB. PJ.
8. Une tige pesante peut tourner autour d'une charnière placée à son extrémité inférieure et s'appuie à l'autre extrémité contre une verticale : déterminer les pressions supportées par cette verticale et par la charnière. PJ.
9. On remplace un système de forces par un autre équivalent formé des forces P, Q, K. . . . , qu'on peut choisir d'une infinité de manières; soieni pp\ qr/\ ... les droites qui représentent les forces P, Q, R, . . .*: la droite qui joint le centre des moyennes distances de p, fjy . .. BU centre des moyennes distances de p\q\ • -- est parallèle à un plan fixe, pourvu que le nombre des forces P, Q, . . . soit constant. PJ.
