Par exemple, soit un cercle de rayon a, tournant
SIXtÈMS LSÇOlt. 59
autour d'an axe situé à une distance CH = h de son Ft^. 3g. centre, nous aurons
VJ,^ et, par suite,
S = ^v'ah, V = %fc^a}h.
Si une ellipse dont les axes sont a a et %b tourne aix Fig. 40. iQQp d^un axe, situé dans son
^ ^ plan à une distance h de son
f y centre, on aura
Yr^in'abh,
93. Le théorème de Guldin relatif aux volumes est susceptible d'extension.
Si une surface plane se transporte dans V espace de telle sorte qu'un de ses points restant toujours sur une
courbe quelconque IK, son plan demeure constamment normal à cette courbe, le solide exgendré par le mouvement de cette surface aura pour mesure Vaire de la surface, multipliée par la courbe que décrit son centre de grcufité.
En efTet, soient MO et M'O deux droites infiniment voisines suivant lesquelles le plan de la surface mobile rencontre successivement le plan osculateur de la courbe IK au point M. Les deux plans qui auront ces droites pour trace étant normaux à la courbe, se couperont sur une droite projetée en O et perpendiculaire au plan osculateur MM'O de la courbe au point M. Cette droite est Taxe du cercle osculateur et O en est le rentre. Donc, quand la surface génératrice passera de la position qui correspond
dn CODKS DE MËCAmQUB.
h OM, k celle qui correspond à OM', elle pourra èirc supposée tourner «utour de l'arc projclé en O. Tièû lors le volume du solide engendre par ce déplacement itiriiiimcnt peiit aura pour mesure Taire de la surface mobile, mulliplîce par le petit arc de cercle que dtîcrit le centre de gravit*^ de cette surface. La mime cliose peut se dire àt chaque élëment de volume ainsi forme ; on voit donc bien que le volume toul sera égal à l'aire génératrice multipliée par la courbe que décrit le centre de gravite.
On remarquera que le plan de la surface mobile reste toujours tangent ji la surface développable formt^e par le.o intersections successives des plans normaux è la couibc directrice.
VOLVMB DU CYLIKOnE.
yi. Soit ABCD un cylindre dont la section droiio est Fie- 4»- AB, coupé par un plan CD in-
cliné i ses arêtes. Soient î.' l'ait-e de la base AB, et x, la distance du rentre de gravité de la base supérieure à la base inféncnre.
Je dis que le volume du cylindre ABCD est égal à î/x,.
En effet, soient Ox, Oj-, 0« trois axes rectangulaires, dont deux, O j-, Oj, soient dans le plan de AB. En désignant par X l'aire CD cl par m l'aire d'un de ses éléments infiniment petits, on aura (72)
Soient S l'angle des deux plans AB et CD, et w' la projection de u sur te plan AB, on aura
«'^«cosfl, l' = lcos8.
En multipliant l'égalité (i) parle facteur co»$, on aura
IcosSj
-ff"
SIXIÈME LEÇON. Gl
OU
l'Zj '-il ««'•
Or, z étant la hauteur du centre de gravi ré de l'élément ci>, za>' est le volume du cylindre infiniment pistil
tùtù'y et dès lors / / zco' est le volume du cylindre entier ABCD. On a donc
Ce qu'il fallait démontrer.
95. Le centre de gravité G' de la section droite AB est la projection du centre de gravité G sur le plan de la section droite.
Eu effet, soient x^j^i, £| les coordonnées du point G, et x\^ jr\t o celles du point G'. On a
d'où Ton déduit, en multipliant par le facteur constant cosd,
on aurait de même
donc
ce qui démontre la proposition énoncée.
96. De là résulte que les centres de gravité G, G^ G'^ de toutes les sections planes faites dans un cylindre quelconque sont sur une même droite parallèle aux ai êtes.
6a couas de MtcÀniQUE.
Enfin on peut en déduire que le volume d'un cylindre
Fig. 43.
droite AB, on aura
d'où ou bien
quelconque EFCD est égal à Taire d'une section droite, multipliée par la distance GC des centresdegravitédes deux bases.
En effet) soient Yi le volume ABCD, V, le volume ABEF, et V le volume EFCD. En désîgnant par X' Taire de la section
V, = VGG', V, = VG'G",
V ^ Vi - V, =^ V (GG' - G'G''), y = V GG'.
SEPTlfelfE LEÇON. 6*3
