RÉDUCTION AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES DES COMPOSANTES

DE l'attraction.

137. On peut exprimer généralement A, B, C par des fonctions elliptiques de première et de deuxième espèce.

En supposant a<C,b<^Cj d'où X < X', on pose dans les valeurs de A, B, C (133)

Vu — tangç, c»=:i — — , langT = X' = i/^l^^', et l'on trouve

3M7 r* sin»(pr/(p ^'* ^Jq ^ I — t'^ sin* ^ Or, on a

^T ^«*'? ^ v/i-^'sin»ç

Si Ton remplace dans cette formule ^i — e^sin'cp par

~f on trouve ^i — tf'sîn*f

ran£»»(p

— tangç ^1 — tf'sia'y= ^i — e'sm"^ -f-(i — c^) — ,

"î y^i— c*sin»y

COO COUnS DE MÉCANIQUE.

en intégrant, il vient alors

tang'<p rf<p fangy yi — c'sin'y — E (g, y;^

c^sin^«j> 1 — <?'

En posant, conformément à Tusagc,

Jo •

on a de même

^ y I — c'sin'^ ^

on a ensuite ^ sincpcoscp

f cos*<p — sin*<p) ( f — ff» sin'tp) -I- c* sîn'9 cos'9

(i — e*sin*ç)' cos'f — sin'<p -4- g^sin^yfi — cos'y)

(i — e'sin'ç)* cos'ç fi — g^) sîn'®

V^r=ri^5in> (,^.sin»<p)=

i / i\ I I , . , (i--<^)sin»(p

v/i-ef»sm»(p\ ^/ ^ (i-e»sin»ç)^

En intégrant, on trouve alors yi — e^sm'f ^

O.NZIEME LEÇON. lOl

c*est-à-dîre

I sin f cosf

Les formules (i) deviennent alors

B = 3 Mef— (c'— û»)" » (c»— *')-• F

et dans ces équations il faut sous-en tendre , devant les signes E et F, le symbole

CAS ou L^ELLIPSOÏnE EST DE RÉVOtllTIO».

138. Si rellipsoïde est de révolution autour de son petit axe aa, on a i = c, X' = X. La formule (133)

3Ma /•* u^

devient

3Ma r' «V/<

et donne

lOa COURS DE MÉCANIQUE.

et comme en général

3M6 /*' li^e/tt

on aura pour c = b

SMS r ' u'dii

On trouve^ en eflecluant Tintégration,

(4) B = — rr: arc lang^ ) .

Pour avoir la valeur de C, on remarquera que les formules (i3) dun^ 134 donnent, en faisant X'= A^

on aura donc

Les composantes B et C étant entre elles comme les composantes 6 et y du point attiré, leur résultante A' sera dirigée suivant la perpendiculaire 3 abaissée de ce point sur Taxe de révolution et aura pour valeur

A' = r- arc tangX — ) •

139. Si X est petit, on développe suivant les puissances de cette quantité, et Ton a

140. Dans le cas de la splière 1 = o, la résultante est ^ = ~7ra, en supposant le point placé sur Taxe des x.

ONZIÈME LEÇOff. 103

141. Si rellipsoïde était de révolution autour de Taxe 2 &, en supposant c = a et 6 ]> a, on aurait X' = o, et des calculs analogues aux précédents donneraient

A C 3M r' u^da

TBÉOnÈME DE VEWTON.

142. On peut démontrer syi)thétîquement ce théorème de Newton qu^u/ie couche homogène d^une épaisseur quelconque comprise entre deux surfaces ellipsoïdales semblables et semblablement placées n^ exerce aucune action sur un point intérieur.

Concevons un cône infiniment étroit ayant son sommet au point attiré O. Il intercepte dans la couche deux portions de volumes j', v' qu'on peut décomposer en tranches ou troncs de cônes par des plans perpendiculaires à l'arête qq*, La masse de la tranche mn^ située à la^ distance Om = ii du point O, est padu, g étant la section mn\ mais a= wu', en nommant co la section faite dans le cône à une distance du point O égale à Tunité. L'attraction de celle tranche sur le point O est

En intégrant par rapport à u depuis u = Op jusqu'à us=: Oq^ p ei(M> étant des constantes, on voit que Taction

Io4 COURS DE MÉCANIQUE.

de i' est ëgale à /fxpw (Oq — Op) on /{ipta pq . De même, Taction de u' est fiiptoa p' g\ Ces deux forces agissent en sens conlraîres et se détruisent, car pq=:=p^q\ puisque d^ns deux ellipsoïdes semblables les cordes parallèles à une même direction ont leurs milieux sur iin même plan diamétral. Donc les actions exercées sur le point O par les divers éléments de la couche peuvent se décomposer * en actions deux â deux égales et contraires ; donc elles se détruisent.

143. Ce théorème est vrai pour une couche infiniment mince, et par conséquent pour une couche d'épaisseur finie telle , qu^on puisse la considérer comme composée de couches infiniment minces, comprises entre des surfaces ellipsoïdales concentriques, semblables et semblablement placées , la densité ne variant que d'une couche à une autre.

Si le point O était extérieur, les deux actions exercées par les portions f^ et i^' seraient encore égales, mais elles s^ ajouteraient.

CAS D*Uli POINT EXTÉAIEUR. THÉORÈME D^IYORT.