En conservant les mêmes notations, on a
A = — I I I cos^ du sin BdBd'^.
Ici on doit intégrer depuis u = R jusqu'à u = R', R et R' désignant les distances du point attiré aux deux points où la droite déterminée par les angles 0 et (|/ rencontre la surface de Tellipsoïde. On a donc
A = r j(K' — R) cosO sÎD G dB d^^^ ou bien (128)
-ff
-cosBsinBdQd'^,
Il faudrait intégrer cette expression entre les limites qui
ONZIÈME LEÇON. Io5
correspondent à R' — R = o, c*est à-dire pour toutes les directions qui tombent dans Tînténeur du cône circonscrit. Mais on ramène ce cas à celui du point intérieur par le tbéorème dlvory.
145. Concevons deux ellipsoïdes ayant leurs axes a, i, c et a\ b\ c' dirigés suivant les trois mêmes axes rectangulaircs. On appelle points correspondants deux points dont les coordonnées sont proportionnelles aux demi-axes auxquels elles sont parallèles, c'est-à-dire que (x, jr, z) et (x\ j\ z') étant deux points correspondants, on aura
Si Tun de ces points est sur la surface du premier ellipsoïde, Tautre sera évidemment sur la surface du second.
Supposons, en outre, que les sections principales de ces deux ellipsoïdes aient les mêmes foyers, c'est-à-dire que
Si Von prend sur les deux ellipsoïdes deux points
quelconques m (x,^, «), fjt(a, 6, y) et leurs corres-pondants m' [x\ y ^ z'), fjt'(a', 6', y'), les distances fim et ^'m' sont égales.
En efTel, on a
=(^'H'-(îH'-(^'-)'-("'-«-')"--
OU bien
Mais ce dernier facteur est nul , puisque Ton a X» x^ z*__ a'» 6'* 7'*
fl* 6» C* a* ^* c'
donc
piw = |x'/w',
146. Appelons toujours A', B', C les composantes de Tattraction du premier ellipsoïde sur le point fi. On a, en faisant abstraction du facteur /"^lO,
On a, eu regardant x comme seule variable
ttciu=^ — (a — x)dxy
d'où
donc si l'on désigne par R et r les valeurs de u qui correspondent aux limites de rinlëgralc, c'est-à-dire aux deux points où la surface de rdlipsoïde est rencontrée par une même parallèle à Taxe des jr, on aura
Considérons maintenant l'attraction que le second ellipsoïde exerce sur le point \i! correspondant de /i, et nommons A', B'y G ses composantes, on aura
Mais r = piwi, r' = (x'/h'; donc (1 43) r' = r : de même, R' = R. D'ailleurs, âf =j<ij, dz' z=t dz. Donc
0>Z1£ME LEÇOIV. làj
OU
te
On aura àe même
Donc Vattraclion d^un ellipsoïde sur un point extérieur fi est ramenée à l'attraction d^un ellipsoïde homo^ focal sur le point u' correspondant.
Ce tbéorème subsiste quelle que soit la loi d'attraciion.
147. Pour faire usage de ce théorème, il faut calculer le& valeurs des demi-axes a\ b\ c' du second ellipsoïde, connaissant ceux du premier et les coordonnées gc^ 6^ y du point p.. On a
or
d'où
Cette équation donne une valeur positive pour fl'*, et une seule, car a'* = o rend le premier membre plus grand que Fujiité et a" = oo le rend moindre que Tunité. D'ailleurs ce premier membre décroît d'une manière continue quand a' varie depuis zéro jusqu'à Finfini : il ne peut donc passer qu'une seule fois par la valeur de i . Le demi-axe a' étant déterminé, on aura les deux autres par les équations
Io8 COURS DE MÉCANIQUE.
DYNAMIQUE
