PREMIÈRE Partie

NOTIONS PRÉmflNAlRES SUR LE MOUVEMENT

DcÛoitions. — Mouvement irairorme. — De rinertie. — Vitesse dans le

mouvement varié.

DÉFINITIOSS.

148. La dynamique a pour objet rétude des lois du mouvement des corps. On considère, dans cette partie de la Mécanique, une quantité dont on n'a pas eu à s* occuper en statique, le temps. L'idée du temps, comme celle de l'espace, est une idée simple, qu'on ne définit pas; mais il est nécessaire de définir Tégalité des temps.

Deux intervalles de temps sont égaux, quand deux corps identiques, placés dans les mêmes circonstances, parcourent des espaces égaux dans ces deux intervalles de temps, quelle que soit la loi de leur mouvement commun. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, si Ton abandonnait le même corps ou deux corps identiques, partant d'un même point, à l'action de la pesanteur à deux époques diflerentes : le point de départ étant le même, ils emploieraient le même temps à parcourir le même espace. De même encore, si Ton suppose deux globules pesants et identiques, suspendus aux extrémités de deux fils pareils et de même longueur, dont l'autre extrémité est fixe, et qu'à deux époques difTérentes ces deux pendules soient également écartés de la verticale, la durée de la première

DOUZIEME LEÇOir. IO9

oscillation sera la même pour Tun et pour Tautre. La nor tion d'une suite d'intervalles de temps égaux conduit à celle du rapport commensurablc ou incommensurable de deux temps quelconques. L'unité de temps généralement adoptée est la seconde. Nous n'avons pas à la définir ici.

moutemeut unifobhe.

149. Le mouvement le plus simple que puisse prendre un point matériel est celui dans lequel ce point décrit une ligne droite, sur laquelle il parcourt des espaces égaux dans des temps égaux. Ce mouvement est dit uniforyne et sert de terme de comparaison à tous les autres mouvements. On appelle mouvement ^arié tout mouvement qui n'est pas uniforme.

loO. Quand un point M se meut en ligne droite, Tes- Fig. 59. pace parcouru par ce point,

o B M .X ou plus généralement sa distance X à un point fixe O pris sur cette droite^ est une fonction du temps t écoule depuis une époque convenue, en sorte qu'on a

cette équation est ce qu^on appelle Y équation du mouvement.

loi.. Un mouvement uniforme diffère d'un autre mouvement uniforme par la grandeur de l'espace constant que le mobile parcourt dans l'unité de temps. Cet espace est ce qu'on nomme la vitesse du mobile. Si donc l'on désigne par s l'espace parcouru dans le temps t et par a l'espace parcouru dans l'unité de temps, on aura

s =iat ou - z=:a.

On voit par là que l'on peut encore définir la vitesse, le rapport de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir.

Si l'on rapporte la position du mobile à un point O Gxe pris sur la droite parcourue et que Ton désigne par b sa distance OB à cette origine, à Torigine du temps, il est clair qu on aura

ou

C'est Téquation la plus générale du mouvement uniforme. Pour un autre point M' on aurait

Ces deux équations serviront à résoudre toutes les questions qui concernent les positions relatives des deux points mobiles, à des époques quelconques.

152. L'équation du mouvement uniforme suppose qu^on ait adopté deux unités, Tunité de longueur et Tunitéde tenips. Le nombre qui exprime la vitesse dépend de chacune d'elles; mais le rapport des vitesses dans deux mouvements uniformes reste invariable quand on change ces unités. En eiïet, si Tunité de temps devient n fois plus grande, les vitesses qui étaient auparavant exprimées par a et a' le seront maintenant par na et na* :

or — ; = -7* De même, si Tunité de longueur devient na' a' "

p fois plus grande, les vitesses auront pour expressions

nouvelles - et — » et leur rapport ne sera pas changé.

En général, le nombre qui exprime la vitesse varie avec Tunité de longueur. Il est d'autant moindre que cette unité est plus grande. Ce nombre varie aussi dans le même rapport que Tunité de temps.

DE l'i»ertie.

153. Il est évident que si un point matériel est en repos, il ne peut se mettre en mouvement de lui-même et

DOVZlkME LEÇ0I7. IXI

sans une cause extérieure, car il n'y a pas de raison pour que ce point se meuve de lui-même dans un certain sens plutôt que dans un autre. En outre, si un point matériel a été mis en mouvement par des causes quelconques (que nous appelons des ybrce^) et qu'ensuite il ne soit plus sollicité par aucune force, il devra se mouvoir suivant une certaine ligne droite, en conservant toujours la même vitesse, c'est-à-dire en parcourant sur cette ligne droite des espaces égaux en temps égaux. On voit bien d'abord que le point se mouvra en ligne droite, car il n'y a pas de raison pour qu'il s'écarte de la direction de son mouvement à l'instant où les forces ont cessé d'agir. Il n'est pas aussi facile d'admettre que sa vitesse restera la même ou que son mouvement sera uniforme, car il n'y aurait rien d'absurde à supposer que son mouvement se ralentisse peu à peu et cesse entièrement au bout d'un certain temps. Mais on observe qu'un corps, soumis à une impulsion et abandonné ensuite à lui-même, possède pendant un certain temps un mouvement sensiblement recti ligne et uniforme, et qui dure d'autant plus longtemps que les obstacles et les résistances qui s'opposent h ce mouvement sont moindres. Tel est, par exemple, un corps solide qui reçoit une impulsion sur un plan Gxc horizontal irès-poli, sur lequel il repose par une face plane et qui n'éprouve que peu de frottement. On est donc conduit h admettre que s'il était possible qu'un point matériel, après avoir été mis en mouvement par des causes quelconques, ne lut plus sollicité par aucune force et ne rencontrât aucun obstacle, son mouvement serait rectiligne et uniforme.

151. Ces propriétés constituent ce qu'on appelle Vînertie de la matière.

L'inertie de la matière consiste donc en ce que tout point matériel en repos reste en repos, tant qu'aucune cause extérieure n'agit sur lui, et s'il a été mis en muo-

lia COURS BE MÉCANIQUE.

vement et qa^ensuile aucune force ne lui $oit appliquée, son mouvement est naturellement rectîlîgne et uniforme. Le mot inertie ne signifie pas que la matière soit incapable d'agir, car, au contraire, la plupart des forces dont nous observons les effets proviennent des actions que les molécules matérielles exercent les unes sur les autres, de sorte qu*un point matériel peut trouver dans un autre, mais jamais en lui-même, la cause de sou mouvement.

VITESSE DANS LE MODVEMElîT VAUIÉ.

455. Il résulte de ce qui précède que tout point matériel doué d*un mouvement varié rectiligne ou d'un mouvement curviligne doit être sollicité par une ou plusieurs forces, sans quoi son mouvement serait uniforme. Comme l'espace parcouru par le mobile n'est pas toujours le même dans des temps égaux, la définition que nous avons donnée de la vitesse n'aurait pas de sens dans ce cas. Pour concevoir ce qu'on entend alors par vitesse, imaginons que la cause ou force qui produit le mouvement cesse d'agir à un instant déterminé : le point continuera à se mouvoir dans la direction d'une certaine droite et son mouvement sur cette droite sera uniforme. On appelle vitesse d'un mobile au bout du temps f, la vitesse du mouvement uniforme qui succéderait au mouvement varié si, à cet instant, la force motrice cessait d'agir.

156. Quand le mouvement n'est pas uniforme et rectiligne, la vitesse varie à chaque instant et d'une manière continue, soit en grandeur, soit en direction. En effet, l'observation prouve qu'il n'existe pas de force qui puisse, dans un instant indivisible, changer brusquement la grandeur ou la direction de la vitesse d'un corps ou imprimer subitement une vitesse finie à un corps en repos.

On a pendant longtemps distingué deux espèces de forces : les forces continues, comme la pesanteur, agissant sans interruption sur le mobile pendant. un temps fini, et

DOUZIÈME LEÇON. ' Xl3

les forces instantanées qu'on supposait capables d'imprimer subitement à un corps en repos une vitesse Gnie ou de changer instantanément la vitesse ou la direction d*un corps en mouvement; mais par l'observation attentive des phénomènes on reconnaît que ces dernières forces n'existent pas dans la nature, et qu'une force ne peut changer d'une manière sensible la grandeur et la direction de la vitesse qu'en agissant pendant un certain temps qui est quelquefois assez court pour n'être pas appréciable. On s'accorde aujourd'hui à n'admettre que des forces continues.

457. Soit M un point matériel qui se meut, d'un mouvement varié, sur une droite Ox. Appelons x la dis- Fig. 60. tance OM de ce mobile à

0 M y ^ un point quelconque de la

^^ direction Ox,eit le temps

compté à partir d'une époque quelconque, temps au bout duquel le mobile est en M; soit i^ la vitesse inconnue qu'il possède à cet instant. Nous allons faire voir que

dt

On peut d'abord démontrer ce théorème par la considéra*^ tion des infiniment petits. En effet, supposons le mobile arrivé en M au bout du temps £. Pendant l'intervalle de temps infiniment petit dt qui succède au temps f , le mobile parcourt l'espace infiniment petit MJVF = Jx, et sa vitesse varie infiniment peu (156), de sorte qu'on peut r^arder le mouvement du mobile de M en M' comme uniforme. On a donc

dj: = çdt ou 1^=-—.

dt

158. On peut établir rigoureusement cette formule par la méthode des limites. Supposons qu'après le temps t le mobile parcoure pendant l'intervalle de temps At

Stubu. — jUéc, L 8

Il4 COURS DE MÉCANIQUE.

J'espace MM' = ùx. Od pourra toujours prendre le temps Af assez court pour que, pendant ce temps-là, la vitesse du mobile soit continuellement croissante ou décroissante. Supposons-la croissante : (^ étant la vitesse du mobile au point M, désignons par u' sa vitesse quand il arrive au point M'. L'espace Ax parcouru par le mobile pendant le temps At doit être évidemment plus grand que Tespace t^At qu'il parcourrait s'il se mouvait uniformément pendant le temps Af avec la vitesse y qu'il a au commencement de ce temps, puisque i^ est sa plus petite vitesse pendant le temps At, Ensuite Ax doit être plus petit que l'espace i^' At que parcourrait le mobile s'il se trouvait avoir la vitesse constante (^ qu'il a au bout du temps Af et qui est sa plus grande vitesse. On a donc

p^t<c^^<iv' àt^

d'où

^ Ar ^

Si Af tend vers zéro, v' se rapproche indéfiniment de u qui ne change pas ; — se rapproche donc aussi indéfiniment de %fy de sorte que Ton a

,. A.r dx p = \im — =-r-« A/ dt