Si deux forces P ef Q sont représentées en gran

deur et en direction par les deux '^* '' côtés contigus AB et AC du pa^

rallélo gramme A6CI), la résultante R de ces deux forces sera représentée en grandeur et en direction par la diagonale AD de ce parallélogratnme, en sorte que les composantes et la résultante peuvent être représentées par les trois côtés (la triangle ABD.

Pour démontrer ce théorème, nous commencerons par faire Yoir que la résultante est dirigée suivant la diagonale AD, en nous appuyant sur le lemme suivant : Soit an losange ÂBCD, de forme invariable : appliquon.<

aux points  et C quatre forces égales dirigées suivant les

côtés AB, AD, CB, CD. On peut regarder comme évident

Fig. a. que les forces égales appliquées

en A donnent une résultante dirigée suivant la bissectrice AC de Tangle BÂD, et que les forces D* c appliquées en C donnent une ré-

sultante égale et directement opposée à la première. Le sysièmie reste donc en équilibre sous Faction des quatre forces.

11. Cela posé, soit/* une commune mesure aux forces P et Q, et admettons, pour fixer les idées, que Ton ait

partageons AB en quatre parties égales et AC en trois par- ^ ties ésales entre elles et par con-

séquent égales aux premières.

"'IrirJrkl'' Menons EH, FI, GK parallèles iptilti à AC, etMS, LN parallèles à AB.

fZj!—]!ulJ Nous ne troublerons pas l'étal

^ du système en appliquant aux

sommets L ei E, M et F, C et G, H et B, I et N, K et S des losanges LE, MF, CG, HB, IN, KS, et suivant les côtés de ces losanges, des forces égales kf. Mais les forces égales et contraires appliquées aux extrémités des droites HE, IF, KG, MS, LN se détruisent. Donc il ne reste que quatre forces égales à/* dirigées suivant CD, et trois forces égales à y dirigées suivant BD. Les quatre premières se composent en une seule égale à P, que Ton peut supposer appli* quée au point D, et de même les trois autres donnent une résultante égale à Q et appliquée au même point D. II résulte de là que le système des deux forces Pet Q appliquées en A peut être remplacé par deux forces P et Q appliquées au point D. Donc la résultante passe par le point D; mais elle passe déjà par le point A : donc elle est dirigée suivant AD. c. q. f. d.

Fig. 4.

TREMIÈAE LEÇOir. 5

Nous avons supposé que les forces P et Q étaient commensurables entre elles; si elles étaient incommensurables, en employant un mode de raisonnement bien connu, on ferait voir que dans ce cas la résultante est encore dirigée suivant la diagonale AD.

12. Après avoir trouvé la direction de la résultante, il reste à montrer que sa grandeur est représentée par la longueur de la diagonale AD.

Imaginons une force AE égale à la résultante inconnue

et dirigée suivant le prolongement de la diagonale AD. Celte force fera équilibre aux forces P et Q. Par conséquent la résultante des forces P et AE sera dirigée dans le prolongement AF de la droite AC. Or, d'après le numéro précédent, celte direction doit être celle de la diagonale du parallélogramme AEFB. Donc les deux triangles AEF, DAC seront égaux comme ayant un côté égal adj[^cent à deux angles égaux, savoir : EF = CD, puisque EF = AB = CD 5 les angles AFE et ACD égaux comme alternes-internes; les angles AEF et ADC égaux par la même raison. Donc AE = AD. Donc la diagonale représente bien Fintensité de la résultante.

Fig. 5.