DE LA VITESSE DANS LE XOUVEMEKÎT CURVILIGNE
227. Soit M(j:, y y z) un point qui décrit dans Tes- Fig. 77. pace une ligne courbe CMD.
Ce point doit être constamment sollicité par une force dont la direction change a chaque instant. Si au bout du temps t cette force cessait d'agir, le mobile prendrait, suivant une certaine droite MT, un mouvement uniforme, et, c'est la vitesse de ce mouvement uniforme que nous sommes convenus d'appeler la vitesse du mobile au point M (155).
La projection M' du point M sur Taxe Ox se meut d'un mouvement quelconque, qui deviendrait aussi uniforme si la force qui sollicite le point M cessait d'agir.
228. Le mouvement du point M est déterminé par trois équations
au moyen desquelles on peut obtenir la vitesse du mobile en fonction du temps. Pour le démontrer, nous distinguerons deux cas. ^
En premier lieu, si la force P qui sollicite le mobile est constante d'intensité et de direction, la projection deMK sur Taxe des x sera
v^tcosoL H Ar'cosX,
a désignant l'angle que la direction de la vitesse fait avec Taxe des x, et X Tangle que la force P fait avec ce mèuie axe. On aura donc
àx I P ,
=:pC0Sa-) A/COSA,
DIX-nUITIÈMB LEÇOS* x65
et, en passant à la limiie^
Si les axes étaient obliques, on aurait, en décomposant la vitesse v en trois autres, p^ q^ r, et la force P en trois forces X, Y, Z, suivant les axes,
ï X . ., ^ dx Ax = /;A/-+----A^% d'où -j-=P'
Ainsi les composantes de la vitesse suivant les axes s* obtiendront en prenant les vitesses des projections sur ces axes, et l*on aura, dans le cas des axes rectangulaires,
dx dy dz
(a) — =PCOSa, — =:pco$P, ~=pcos7,
d'où
l'on
dédi
aira
d'où
dx'
-t- dy^ -h dz'
di*
ds^
ds
en désignant par 5 la longueur d'un arc comptée sur la trajectoire à partir d*un point fixe. Cette formule conviendrait encore si les axes étaient obliques,
229. Quand la force qui agit sur le mobile est variable, on a, en désignant par jix un infiniment petit,
,,, dr àt' fd'x \
(4) Ax=^A.-t--^— +^j.
La molécule va de M en K, comme un point qui aurait au bout du temps t la vitesse v suivant la tangente MT et qui serait sollicité par une force dMntensilé et de direction constante, dont les composantes seraient
d^ ^* ut* ^^ €U' ^
l66 COURS DE MÉGAVIQUE.
Cette force diflire infiniment peu de P, si Ae est très« petit; car si Ton imagine une autre molécule soumise à une force constante P'et arrivant en K, on a
Aa: = p^tcOSOL H COSX.
On déduit de (4)
lim — ou -r-=PCOSa.
M dt
Les formules sont donc les mêmes que dans le cas où Fa force est constante.
Daus tous les cas on a
dt dx ds
COSot =: , — = -r- : -j-»
If dt dt
OU
(5) <^<»- = ^' cosp = ^, coS7 = -;
donc la vitesse est dirigée suivant la tangente MT.
230. Ces formules peuvent encore être obtenues par la méthode des infiniment petits. Pendant le temps infiniment petit dty le mobile parcourt sur sa trajectoire un espace infiniment petit ds. On peut considérer son mouvement comme rectiligne et uniforme pendant le temps dtj puisque la vitesse ne varie qu'infiniment peu en grandeur et en direction. On aura donc
ds
ds =r vdt. d'où f i:z: -— .
' dt
D'ailleurs la direction de la vitesse est celle de l'élément ds ou de la tangente au point M.
