SUR UN A3^E
223, Si M est la position occupée par le mobile au Fig. ^5. bout du temps /, sur la droite
AB, et u sa vitesse supposée constante, on aura
AM = vt.
Soit Ox un axe quelconque avec lequel ÂM fait un angle a, et soit Â'M' la projection de AM sur Ox^ on aura
ou bien
A M' = AM ces a = p/cosa,
A M'^rpcosar.
Donc ia projection du mobile sur un axe quelconque se meut tTun mouvement uniforme^ dont la vitesse p est liée à la vitesse i^ par la formule
p=:pco%a.
Si Ton projette delà même manière le point mobile sur deux autres axes, O/, Oz, faisant avec AM des angles ^, y, les vitesses p, q^ r des projections sur les trois axes seront données par les formules
(i) p=ipcosa, 9 = pcosp, r = PC0S7<
Sroaa. •— Jtée., L
l6o, COURS DB MÊCAXriQUS.
Les quantités p^q^r sont nommées les composantes de la vitesse du mobile sur ces axes. On démontre facilement que ces formules conviennent à tous les cas, pourvu que Ton considère p, ^, r comme positives ou négatives suivant que les projections du point M se meuvent dans le sens positif de Taxe ou en sens contraire.
224. Lorsqu'on donnera le mouvement du point M, c'est-à-dire les valeurs de v, a, P, y, les équations
cosa=:py pcosp = 7y pcos7=r
feront connaître les composantes;?, 9, r. Réciproquement ces composantes étant connues, on en déduira 1^, a, (S, 7 par les formules
(2) . (>=:y/):?»-t-7>-hr»,
(3) cosa=:— î cospi=-> C0S7 = --
Si l'on mène par le point O une droite représentant en grandeur et en direction la vitesse du mobile, on voit que les composantes de cette vitesse seront représentées en grandeur et en direction par les arêtes d'un parallélipipède dont la vitesse du mobile serait la diagonale.
225. Soient a, &, c les coordonnées du point A où se trouve le mobile à Porigine des temps, et soient x, j-^ z celles du point M où il se trouve au bout du temps t, le mouvement sera complètement représenté par les trois équations
jr=b^qt, z = c -^ ri.
En effet, on a
OM' = OA'-hA'M'i Mais
OM' = x, OA' = fl, AfW = pt;
DIX-BUITIÈMB LEÇON. l63
donc
On démontrerait de la même manière les deux autres formules.
On aurait des formules semblables en prenant des axes obliques.
226. On a vu que la projection sur un axe quelconque d^un point qui se meut d'un mouvement uniforme et rectiligne se meut elle-même d^un mouvement uniforme. Réciproquement, si les projections d^un point M sur trois axes Ox, Oj", Oz se meuv^ent ai^ec des vitesses constantes p^ (/^ r^ le mouvement du point M' sera luimême rectiligne et uniforme. En effet, soit A le point où se trouve le mobile quand tz=.o\ les projections de la droite AM sur les axes étant pt^ qt^ rtj on a
AM = / ^p* -4- ^a -4- r
de sorte que la distance AM est proportionnelle au temps. En outre, si Ton appelle ce, j3, y les angles que la droite AM fait avec les axes, on a
pt qt rt
00». = —, cosp = — , co,v = —
ou
COSa:=:
(5) {cosp = — =^=,
r cosy = .
Donc la droite AM conserve une direction constante; et comme sa longueur varie proportionnellement au temps, le mouvement est bien rectiligne et uniforme.
GOUUS DE MÉCANIQUE.
