Si dans Téquation (8) on fait j^ =r o, on obtient
X =. AB = ^/i sin X cosa ,
ce qui fait connaître le point B où le projectile rencontre
de nouveau Tborizontale Ax, La longueur AB esl ce
qu^on appelle V amplitude du jet. Elle est double de
Tabscisse du sommet, et c'est ce qui devait être, puisque
la parabole est symétrique par rapport à son axe CE.
On peut écrire
AB = 2^ sin 29e :
il en résulte que V amplitude du jet a sa plus grande valeur, quand sin 2a = 1, c'est-à-dire quand a == 45", la vitesse initiale restant la même.
245. Proposons-nous de trouver sous quel angle il faut lancer un projectile du point A , pour qu'il atteigne un point donné (X, Y). Ici Tinconnue est tanga, et si Ton
pose
tanga = u , d'où — -- = i-h «*, " cos'a
DIX-NEUYIEMB LEÇON. I77
Téquation (8) devient, en y remplaçant tanga, x, y par II. X, Y,
d'où Ton tire
te
Donc si l'on a
on aura deux valeurs réelles de zi, toutes deux positives dans le cas où X est > o, et par conséquent le projectile pourra être lancé dans deux directions différentes pour atteindre le point M. Si Ton a
4A» — 4/iY — X>=ro,
il n'existe plus qu'une seule direction donnée par la formule
tanga = — »
et enCn le problème est impossible quand on a
2i6. La courbe dont l'équation est
ou
est une parabole L'HL [fig- 81, n° 239), dont Taxe est dirigé suivant ky^ et dont le sommet H est situé à la hauteur AH = A. Les résultats précédents peuvent s'énoncer ainsi : Quand le point que l'on vent atteindre est dans Tintérieur de cette parabole, le mobile peut être lancé suivant deux directions dilîérentes; il n^ a plus quune seule direction convenable, si le point est sur la parabole même^ enfin quand ce point est hors de la courbe, le problème n'est plus possible.
Stubh. — Méc, I. ^^
1^8 COUBS DB XÉCÂMIQmB.
247. Si| laissant rintensité de la vitesse initiale oan- Fig. 8a. stante, on fait varier sa di-
rection , on obtiendra une infinité de paraboles ACB, AC'B', .... Toutes ces paraboles ont pour directrice commune Thorizontale HL menée à la hauteur AH = h.
En effet, soit
^=«langa —
4/<cos'oc
Tune des paraboles ACB dont C est le sommet : on a
CE = /i sin'a ,
et 4^cos*a étant le paramètre, hcos^a est la dislance do sommet à la directrice, et par suite h sin'or + h cos*a = h est la distance de la directrice, qui est horizontale, à l'axe Ax.
HL étant la directrice de Tune quiconque des paraboles, si F en est le foyer, on a AF = AH. Donc les foyers de toutes les paraboles sont sur une circonférence décrite du point A comme centre avec AH = h pour rayon. On trouvera facilement que les sommets C et C sont sur une ellipse.
â48. Représentons par
l'équation
/{•^»r. tt) = o
de l'une quelconque des paraboles. Une autre de ces courbes aura pour équation
DIX- NEUVIEME LEÇON. Ij^
Si M {Xjj') est un point commun à ces deux courbes, on aura donc k la fois
/(X,J, tt) rrro,
d*où Ton déduit
/(jf>j:» «H- Al/)— /(x, j, n)
Si maintenant on suppose Au = o, on a, pour détcrrainer le point d^intcrsection de deux paraboles infiniment voisines, les équations
ou
L'élimination de u entre ces deux équations donnera
pour Téquation du lieu des points M, c'est-à-dire pour Tenveloppe de toutes les paraboles.
Or cette équation est précisément celle que nous avons trouvée pour la parabole HLM, lieu des points que le projectile ne peut atteindre que dans une seule direction. Ce
résultat pouvait être prévu, car Téquation ^ = o exprime que pour un système quelconque de valeurs attribuées k X et yj u considérée comme inconnue a deux valeurs égales.
l80 COUnS DE MÉCÀNIQUS*
