DES FORCES VIVES DANS UN SYSTEME A LIAISONS COMPLIÏTES
623. Quand un système de ?i points est à liaisons complètes, il y a 3/2 — i équations de condition : un seul mouvement virtuel est possible à chaque instant, et il est le même que le déplacement réel du système. Dans ce cas, l'équation des forces vives suffit pour déterminer le mouvement de chaque point, car en y joignant celles qui expriment les liaisons du système, on a 3 aî équations pour connaître les expressions des 3 n variables x,j, z, x',f', ... en fonction du temps. Il faut alors exprimer toutes les variables en fonction d'une seule ô convenablement choisie.
Considérons, par exemple, le mouvement d'un corps solide autour d'un axe O^, ce qui constitue un système à liaisons complètes. On aura, en conservant les notations habituelles.
(i) d \ mi>^=i\[-^dx-^Ydy^Zdz).
Or on a
y mv^ z=z\ I.
puisque la vitesse angulaire est la même à chaque instant pour tous les points du système. D'ailleurs
dx dy dz
de -^ ' dt ' dt
donc
COURS DE lûÉCAJNIQUE.
(2) \ {Xdv H- Ydr + Zch) ~ »\ (Y^ — X}■)^/o^ Substituant dans Féqualion (i), on a
ou Lien
mr' — — =:= 2 w \ (Y.r — Xj),
-^2,'"^' =\ (Y^ — Xj),
équation déjà obtenue (53i).
624. L'équation du mouvement du pendule composé, éîablie comme conséquence de la théorie des mouvements Fig. 170. de rotation, peut être déduite
de l'équation (i).
En conservant les mêmes notations (563), on a
d \ /;/('^ ■=z d\(ù'^\ inr
et
\ (X<i./: -!- Ydj H- Zdz) =\ mgdj;
donc, en substituant,
c? ( w^ \ mr'' 1 =: 2 \ rngdy et en intégrant
w^\ mr"^ z= o.g\ my + C = igWj^ + C,
M étant la masse totale du pendule et j'"i ou AD Vy dti centre de gravité. On a d'ailleurs
et
Par conséquent
^f^a rns9 w^ = ~ 7— -f- C.
Pour déterminer la constante C, désignons par il la ■vitesse angulaire initiale, correspondant à 9 := a. On a, dans ce cas,
w^ — li^H ''^ ,, (cose — cosse),
• =z DJ -\ ' — — (cos9 — cosa),
dt' a^ H- k' ^ "
équation déjà obtenue (565) et qui représente le mouvement du centre de gravité.
DES FOnCES VIVES DANS LE MOUVEMENT RELATIF.
625. L'équation des forces vives s'applique au mouvement relatif d'un système quelconque par rapport à son centre de gravité, pourvu que dans ce système il n'existe aucun point fixe, ni aucun point assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface fixe.
Soient Gxi, G/i, G^j, trois axes parallèles à ti'ois axes fixes Ox, Oj, Oz et menés par le centre de gravité G(xi,yi,Zi) à une époque quelconque. Désignons par ?, Yi, ^ les coordonnées d'un point quelconque M {x,y, z) par rapport à ces axes mobiles. On aura
Nommons i^ la vitesse du point M, et o) sa vitesse relative, c'est-à-dire sa vitesse apparente pour un observateur placé en G et qui serait entraîné avec les axes mobiles. Soit enfin t^i la vitesse du point G.
On a
, , dx' H- dy^ + dz^
dt-
d'où, à cause des équations (i),
dx] + dr] -f- dz: dl"- + drP- H- d'Ç-
df dt''
' dxy d\ dy^ de dz^ d'C^ dt dt dt dt dt de
OU
, 2 , , Idx.dl dy.dn dz, dC,
' \ dt dt dt dt dt dt
Multiplions par m les deux membres de cette équation et ajoutons toutes les équations analogues relatives aux autres points du système. Si l'on observe que
dt dt
^/j:,\^ d'c, <^)i\^ dy\ dz,\} d'C,
dt /^ dt dt ^ dt dt ^ dt
puisque l'origine G étant le centre de gravité, on a \ 772^ =: o, . . . , et par suite \ 7?i -y^ = o, . . . , l'équation résultante se réduit à
ou
(4) \ w('- = Mf'f +\ ww%
en désignant par M la masse totale du système.
Ainsi (et cette conséquence s'applique à un système quelconque lors même qu'il ne serait pas entièrement libre dans l'espace), la somme des forces 'vives des points dans leur mouvement absolu est égale, à chaque instant, à la m,ême somme considérée dans le mouvement relatif autour du centre de gravité, augmentée du produit de la
QUARAWTE-HUITIÈME LEÇON. 223
masse totale du système niullipliée par le carré de la vitesse du centre de granité.
626. Revenons à l'iiypolbèse primitive, en vertu de laquelle on suppose le système entièrement libre. Substituant à\ niv'^ la valeur précédente dans l'équation
^y nn>' = aV (X^.r -h Ydj + Zdz), on a
I d'^lw] -Ard\ WW^
(5) / =2> (Xr/o:, + Yr/j, +Zrfz,)
f +2y(Xf/£ + Y^/j + Z^Z(;).
Or de
on tire
id'^x^dx^ -\- id-y^dy^ -\- 7.d^z^dz^
dt'' OU
donc l'équation (5) se réduit à
Celte équation exprime que, dans le mouvement relatif d'un système absolument libre, autour de son centre de gravité, la différentielle de la somme des forces vives des points du système 'est égale au double de la somme des quantités de travail apparent des forces motrices.
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