L'expression\ (XrZa: -i~Ydj ■+- Zdz) n'est pas

une différentielle exacte dans le cas où les points du système éprouvent des frottements ou la résistance d'un milieu. Cela tient à ce que les frottements et les résistances sont des forces qui dépendent, les premières de la pression de chaque point contre les surfaces frottantes, les autres de la vitesse de chaque point. Dans ce dernier cas on a, pour le point M.

Xdx-^Ydy -hZ dz =—/{(>) ds.

Or la vitesse ne dépendant pas uniquement de la position du point ni de celle des autres points du système, /(p*) ds

ne peut pas être la différentielle exacte d'une fonction de x,j, z, x' , . . . . La même conclusion s'applique au cas des frottements. Dans ces deux cas il y a perte de force vive, et cette perte dépend d'éléments autres que les coordonnées des points du système dans les deux positions considérées.