G- — A/2 „, G^ — B/( „ G^ — CA

c'est l'équation du cône décrit dans le corps par l'axe fixe OG.

673. Pour que ce cône et le précédent ne soient pas imaginaires^ il faut que les quantités G^ — A A, G^ — BA, G^ — C/i ne soient pas toutes trois de même signe. Donc, en supposant A ^ B ^ C, il faut que l'on ait

G^- — Ah<Z o. G' -- C A > o.

Selon que la quantité G" — B/i sera négative ou positive, ces deux cônes seront coupés suivant des ellipses par tout plan perpendiculaire à l'axe du plus petit moment d'inertie ou du plus grand. Donc, pendant toute la durée du mouvement, l'axe instantané ne s'écartera de l'un de ces deux axes principaux que de quantités limitées, et le même axe principal ne s'écartera cjue de quantités limitées de l'axe fixe OG du couple des quantités de mouvement. Si l'on a A = B =^ C, les deux équations donnent p, <7, 7' constants. Alors le mouvement de rotation est uniforme autour de Taxe OG fixe.

674. Les axes principaux relatifs au point O sont les seuls qui puissent rester immobiles avec un mouvement de rotation uniforme. Car pour que l'axe instantané conserve toujours la même position, il faut que p, q, r soient

constants. On a donc

dp =: O, dq ■=z G, dr = O5

ce qui donne

(B — A)/^<7=0, (C— B)<77- — o, (A— C)/^/- = o, d'où

^ :=S o, (^ = G, r=zn.

MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE ENTIÈREMENT LIBRE.

675. Le mouvement d'un corps solide libre, sollicité par des forces données, sera connu quand on pourra déterminer le mouvement absolu d'un de s(!s points et le mouvement relatif de tout autre point du corps autour de celui-là. Si G est le point particulier du corps dont on considère le mouvement absolu, il faudra concevoir qu'il emporte avec lui, dans son mouvement, trois axes Gx, Gy, G^, constamment parallèles à eux-mêmes, par rapport auxquels on cherchera le mouvement de chaque point M du corps. Si l'on a seulement pour but de décomposer le mouvement du point M en d'autres plus simples et plus faciles à concevoir, on pourra, comme cela a été dit, choisir à volonté le point dont on considère le mouvement de translation. Mais, dans l'application, il est avantageux de prendre le centre de gravité. En effet, d'après le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité, il suffit de connaître les forces motrices du système et sa masse, pour déterminer le mouvement de ce point, et de plus^ quand ce corps est mis en mouvement par des percussions, il suffit, pour déterminer la vitesse initiale du centre de gravité, d'y transporter les quantités de mouvement qui mesurent les percussions et de les composer comme des forces : la résultante est la quantité de mouvement initiale du centre de gravité.

Enfin, un autre avantage consiste en ce que, sous V action des forces motrices le mouvement de rotation autour du centre de gravité est le même que si ce point était fixe. C'est ce que nous allons prouver.

676. Soient ,^, vj, Z, les coordonnées du point M psr rappoit aux axes mobiles Gx, Gr, Gz et désignons par X, Y, Z les composantes de la force motrice appliquée en ce point. On a, d'après le principe des aires,

\ di- dt' ] /^^

Or on aurait précisément les raênies équations si le centre de gravité était fixe. Par conséquent, si ces équations suffisent pour déterminer le mouvement, il doit être le même pour le corps dont le centre de gravité serait fixe et pour le même corps dont le centre de gravité serait mobile.

Soient en effet GA, GB, GC trois axes rectangulaires fixes dans le corps qui tourne autour du point G, et mobiles avec lui. Quand les trois angles cp, 6, (L, définis au n''6D7, seront connus pour une époque quelconque, on connaîtra évidemment la position des trois axesGA, GB, GC et par suite celle d'un point quelconque du solide. Or on peut exprimer les coordonnées ^, y;, (^ du point M en fonction de celles du même point par rapport à GA, GB, GC, lesquelles restent constantes dans le mouvement, et des angles çp,9,i|;.Donc, en substituant les valeurs de|,Y),^ en fonction de cp, 6, i]/ dans les équations (i), celles-ci déterminent les valeurs de (jp, ^'î^î en fonction du temps. Ainsi le système (i) suffit pour déterminer le mouvement relatif, et l'on voit qu'il est le même, parrapport au centre de gravité, que si ce point était fixe.

677. Nous allons donner une dénionstralion synthétique de celte proposition. Désignons par cd la force ac-

^'^'3- ï/^- célératrice du centre de gravité

G, force qui a pour composantes parallèles aux axes fixes d'^x, d'^Yx d"^ z^

^ IF"' 'dF' ~dF' ''" ^''" ''

étant les coordonnées du point

/^ G par rapport à trois axes fixes

V OX, OY, OZ. La résultante de

toutes les forces motrices des points du corps transportées au centre de gravité G, parallèlement à elles-mêmes, est Mcf, M étant la masse du corps (600). Or, pour avoir le mouvement relatif du point M par rapport au point G, il suffit de considérer ce dernier point comme fixe et de soumettre à chaque instant le point M à l'action simultanée de sa force effective Q et d'une autre force égale à mcf, parallèle à la force accélératrice co du point G, mais agissant en sens contraire. Or les forces telles que mcp étant parallèles entre elles et proportionnelles aux masses des molécules, se composent en une seule M(f qui passe par le centre de gravité et se trouve détruite continuellement, puisque c'est autour du point G rendu fixe cpie le corps tourne actuellement. Il reste alors, comme forces propres à faire mouvoir le solide, les forces effectives, qui, d'après le principe de d'Alembert, peuvent être remplacées par les forces motrices données P, P', P",.--^ puisque les unes comme les autres font à chaque instant équilibre aux forces effectives prises en sens contraire. Il suit de là que le corps tourne autour du centre de gravité comme si ce point était fixe, en supposant le corps soumis dans les deux cas aux mêmes forces motrices, sans en ajouter de aouvelles.

678. On n'arriverait pas à la même conclusion si l'on considérait le mouvement relatif autour d'un point

quelconque C, autre que le centre de gravité, co étant alors la force accélératrice du point C, toutes les forces parallèles et de sens contraire, telles que w^cp, qu'il faudrait appliquer aux autres points, pour avoir le mouvemenî relatif autour du point C supposé fixe, se composeront en une seule Mcf appliquée au point G, en sorte qu'il faudrait joindre cette résultante aux forces motrices données pour avoir le mouvement relatif autour du point C. En général les forces X, Y, Z dépendent des coordonnées x, y, z ou de la position des points matériels, en sorte que le mouvement du centre de gravité et celui des parties du corps autour de ce centre dépendent l'un de l'autre. Mais quand les forces X, Y, Z, comme la pesanteur, ne dépendent pas de la position du mobile, on peut déterminer séparément le mouvement du centre de gravité et celui du système.

MOUVEMENT d'oN ELLIPSOÏDE.

679. Prenons pour exemple un ellipsoïde pesant. Supposons que ce corps reçoive une impulsion dirigée dans le plan d'une de ses sections principales AGB. Après cette percussion initiale il n'y a de forces motrices que les poids des molécules qu'il faut transporter parallèlement au centre de gravité pour avoir le mouvement de ce point. 11 se meut donc comme un point pesant dans le vide et décrit dans l'espace une parabole.

La vitesse initiale v^ du centre de gravité a une direction parallèle à celle de la percussion, et quant à sa grandeur, en appelant p-p- la quantité de mouvement qui mesure la percussion et M la masse de l'ellipsoïde, on a

Me, = p. f, d ou c, = — •

680. Déterminons maintenant le mouvement de rotation autour du centre de gravité. Les poids des mole-

CIKQUAKTE ET tlKlÈME LEÇON. 269

cules du corps, se réduisant à une force unique appliquée au centre de gravité, n'auront aucune influence sur le mouvement de rotation autour de ce point, qui sera dû uniquement à la percussion initiale et sera le même que si le centre de gravité était fixe. Or la percussion agissant dans le plan AGB perpendiculaire à Taxe GC, qui est un des trois axes d'inertie principaux relatifs au point G, le corps devina tourner indéfiniment autour de l'axe GC comme s'il était fixe, et son mouvement sera uniforme. Si l'on appelle co la vitesse de rotation autour de GC ety la distance de la percussion à cet axe, on aura

mr^ étant le moment d'inertie du corps par rapport

à GA. En appelant ^a, 2^, ic les axes de l'ellipsoïde, on a

mr^ = 5 ^

5 u. vf

On peut encore écrire, en remplaçant ^<^^ par M 1^1,

formule qui fait connaître le rapport de la vitesse angulaire à la vitesse initiale du centre de gravitéo

COURS DE MKCAKrQUE.