MOUVEMENT D'UNE CORDE VIBRANTE

Equations générales du mouvement. — Cas des petites vibrations. Vibrations transversales. — Vibrations longitudinales.

681. Soit une corde homogène parfaitement flexible, élastique et un peu extensible, d'une épaisseur constante

et très-peiite, tendue suivant sa longueur par une force équivalente à un poids donné cr et attachée par ses extrémités aux points fixes A et B. On néglige son poids par rapport à u, et par conséquent elle forme une ligne droite AKB dans son état d'équilibre. Supposons qu'on l'écarté un peu de la position d'équilibre ANB et qu'en même temps on imprime à tous ces points de petites vitesses. Alors elle vibrera autour de la droite AB, et il s'agit de déterminer la position et la vitesse de chacun de ses points à un instant quelconque.

Soit AMB la courbe plane ou à double courbure que forme la corde à une époque quelconque. Prenons trois axes rectangulaires Ax, A)'', Az : un point quelconque qui se trouve d'abord en N sur la droite AB viendra, au bout du temps £, occuper une autre position M voisine de la première. Posons

AN=.r, AP = .r-t-//, VQ-^j, MQ— z.

CINQUANTE- DEUXIÈME LEÇOK, -2-1

Les coordonnées du point qui est en N dans la position d'équilibre sont .r, o, o et dans le mouvement, x -]- «, r, z. Ces déplacements des points de la corde étant trèspetits, II, y-, z ont toujours des valeurs très-peiiles qui sont fonctions du temps t et de x, et la question consiste à trouver leurs expressions en fonction de ces deux variables indépendantes.

Désignons par ris la longueur de la portion de corde infiniment petite MM' qui correspond à l'élément Wrv' = /^a; dans l'état de repos. On établit une relation très-simple entre ds et dx, en exprimant que NIN' et MM' ont la même masse. Soit e le produit de la section normale de la corde par sa densité au point M, dans la position AMB.

eds est la masse de MM' et celle de NN' est — dx, en dé-

signant par p le poids de la corde et par l sa longueur primitive AB. On a donc

(l) eds = — clx.

Appliquons maintenant le principe de d'Alembert. Les composantes de la force accélératiice du point M sont

d?{x + u) cVy d^z d'à rf'r d'z

' dr' ' 'dF' 'dT'^ "" 'd?'' 'IF' 'TiF'

puisque x est indépendante du temps t. Si nous appelons X, Y, Z les composantes de la force accélératrice du point M, ou de la force motrice rapportée à l'unité de masse, celle de la force perdue pour l'élément e ds sont

Ces forces devant à cliaque instant se faire équilibre, on a, d'après les formules qui expriment les conditions d'équiljbte d'un fil soumis à l'action de forces quelconques (405) et en appelant T là tension au point M

f c'est-à-dire TacUon des deux parties AM et MB),

r^r/f.rH-«)"|

,/(T^^UfY-^U./.

ds J \ cW

ds j \ dt-

Si l'on néglige les forces X, Y, Z, ainsi que la pesanteur, ces équations deviennent, en remplaçant zds

par — dx-,

ds I si dt^