ÉGALITÉ DE PRESSION EN TOUS SENS
701 . On admet comme un résultat de l'expérience ou ^'8- 177- comme une conséquence de la
distribution uniforme des molécules des fluides, que la direcûs' T\ I tion de la pression est toujours
perpendiculaire à l'élément de surface w sur lequel elle s'exerce. Ce fait se rattache à cet autre plus général :. que des corps en contact n'exercent
l'un sur l'autre que des actions normales quand leurs surfaces n'ont aucune adhérence ni frottement.
Celle notion s'applicjue à une portion intérieure d'un fluide, car l'équilibre ne serait pas troublé si l'on supposait une portion quelconque du fluide solidifiée. On peut donc, en un point quelconque de l'intérieur, supposer une paroi plane solide, et il y aura sur cliaque élément de cette surface une pression toujours perpendiculaire à son plan. Il y a égalité de pression en tous sens pour un même point, c'est-à-dire que si l'on considère une surface infiniment petite œ passant par un point M pris à volonté dans le fluide, la pression exercée parle fluide sur chaque face de l'élément w sera toujours la même, quelle que soit la position que l'on donne à l'élément co, en le faisant tourner autour du point M.
Pour démontrer ce principe, faisons passer par le point M deux plans cjueîconques; prenons sur leur inter- Fig. 178. section une longueur MN très-
petite, et menons dans ces plans perpendiculairement à leur intersection les quatre droites Mï, KK, Ml', KK' égales à la longueur MjN. Il s'agit de démontrer l'égalité des pressions p et p' rapportées à l'unité de surface que le fluide exerce sur les surfaces planes égales MIKN, MFK'N.
La masse fluide contenue dans le prisme droit MII'NKK' sera encore en équilibre si on la suppose solidifiée. Les pressions que le fluide extérieur exerce contre les cinq faces de ce prisme, perpendiculairement à ces faces, font équilibre aux forces (analogues à la pesanteur) qui sollicitent toutes les molécules intérieures. Doik; la somme de leurs composantes parallèles à un axe quelconque est nulle.
PJenons par le point M un axe ML parallèle à la droite II'. Le fïuide exerce sur les ditwx surfaces planes MIKN
et MI'K'N, que nous désignerons par co et oj' et qui sont égales, des pressions/? w et p'w' dont les composautes suivant l'axe ML sont pw cosa et p'o)' cosc/; a et a' désignant les angles que les normales à ces deux plans ou aux droites MI, MF, font avec ML. Ces angles sont suppléments l'un de l'autre. Les pressions normales aux autres faces Mil', NRR' et IKK'l' ont leurs directions perpendiculaires à ML et par conséquent ne donnent pas de composantes suivant cette droite. Quant aux forces qui agissent sur les molécules intérieures, nous désignerons par X la somme de leurs composantes parallèles à ML.
La somme de toutes ces composantes devant être nulle, on a
p w cosa f- p' w' cosa' + X = G ou
(l) (/; — w') cosa + — r— o,
à cause de
M =;: w', cosa =- — cosa'°.
Si la longueur MN diminue indéfiniment, w décroît
comme le carré de MN et X décroît à très-peu près
comme le volume du prisme ou proportionnellement au
cube de MN. Donc — tend vers zéro: d'ailleurs cos a est w
constant. Donc p et p' tendent vers l'égalité quand les
surfaces égales o) et w' tendent vers zéro. D'ailleurs cos a
est constant; les valeurs de p et de p' tendent vers des
limites déterminées qui, d'après l'équation, doivent être
égales-, de sorte qu'on a p =^p', quand les surfaces égales
0), w' deviennent infiniment petites.
ÉQUILIBRE d'un FLUIDE IMCOMPRESSIBLE.
702. Supposons un liquide incompressible contenu dans un vase polyédrique ABCD.E. Plusieurs parois sont
percées d'ouvertures a, a\ a",.... sur lesquelles sont ajoutés de petits cylindres ayant leurs arêtes perpendi- Fig. 17g. culaires à ces parois. Si l'on
imagine des pistons c[ui peuvent se mouvoir dans l'intérieur de ces cylindres, les forces P, P', P",...
nécessaires pour les maintenir, quand il y a équilibre, sont égales aux pressions exercées par le liquide contre leurs bases. Nous nous proposons de vérifier, dans cet état d'équilibre, le principe des vitesses virtuelles.
Concevons que l'on fasse mouvoir simultanément tous les pistons 5 soient A, h\ li" ^ . . . , les espaces qu'ils parcourent, ces espaces étant regardés comme positifs ou négatifs, selon que les pistons entrent dans le vase ou en sortent. Le licjuide étant supposé incompressible, tous ces déplacements virtuels sont liés entre eux par l'équation
ah + a' h' -1- a" à" -{-...= o.
Multiplions cette équation par la pression p exercée contre les parois et rapportée à l'unité de surface; en observant qu'on a
P = pa, P'=pa', V' — pa",,.,,
il viendra
PA +P'/^'-^-P"^"+... = o,
ce qui est l'équation des vitesses virtuelles dans cet exemple particulier.
On pourrait étendre ce principe au cas où il y aurait des forces motrices agissant sur les molécules du liquide, mais la démonstration est compliquée et il vaut mieux cliercher directement les équations générales de Fé(|uilibre des fluides, comme nous allons le faire.
SïURM. — Méc. II. 19
COURS DE MÉCAJNIQUE.
ÉQUILIBRE d'une MASSE FLUIDE.
70'î. Soient Oo?, O/, Oz trois axes rectangulaires, ce ^'ff- "So- dernier étant vertical et
- dirigé dans le sens de la pesanteur. Nous faisons cette • hypothèse, parce que nous appliquerons nos formules principalement aux fluides pesants. En deux points infiniment voisins m (x,y, z) et e [x -{- dx, j -h dj^ z -\~ dz) construisons un parallélipipède en menant par ces deux points six plans parallèles deux à deux aux trois plans coordonnés. Soient p la densité du fluide au point m et P la force motiice rapportée à l'unité de masse, qui sollicite chaque molécule de ce parallélipipède infiniment petit. Si dm est la masse de celui-ci et X, Y, Z les composantes de la force P, IL dm, Y dm, Tidin seront les composantes de la force motrice. Enfin désignons par p la pression rapportée à l'unité de surface qui s'exerce au point m et qui est la même tout autour de ce point.
Si l'on suppose solidifié le fluide contenu dans le petit parallélipipède, l'équilibre ne sera pas troublé. II faudra donc que les composantes des forces parallèles aux trois axes se détruisent entre elles. Ces forces se composent des forces motrices Xri'/n, Y Jw, Z dm et des pressions exercées par le fluide environnant sur les six faces du parallélipipède. Considérons d'abord les pressions qui s'exercent verlicaleraeut sur les faces mabg et cdef\ elles agissent en sens contraire. La première est égale à pdxdy, la
ide kip -y ~- dz\ dxdj'y leur résultante parallèle à
secoue
dp
* z est égale à — • — - dxdydz ou à
I dp
dz
dm. On a donc
I dp
Cl dz
dm -+- Tidm
CIJNQTJAKTE-TIIOISIEME LEÇOIN . 29I
OU
dp „
On aurait deux autres équations analogues à celle-là; on
a donc
, . dp ^ dp dp
Ainsi les dérivées partielles de la fonction p sont égales à pX, pY, pZ. La différentielle totale de la pression est donc
(2) dp = p{Xdx^-Ydf^Zdz).
Telle est la formule qui donne l'accroissement dépression lorsqu'on passe du point {x,j, z) au point infiniment voisin [x -\- dx , j -\- dy , z-^-dz). Comme p doit être une fonction de x, j^ z, le second membre de l'équation précédente doit être une différentielle exacte et, par conséquent, s'il y a équilibre, on a nécessairement
(3] d [p^y ^d [pY] ^ djpX) ^d(pZ)^ d(pY)__d{pZ) dj dx dz dx dz dy
L'expression p [^dx + Ydy -j- Xdz) étant alors la différentielle exacte d'une certaine fonction^ (x, j^, ^), on a
C étant une constante qui sera déterminée quand on connaîtra la pression po en un point particulier (x^jj^o? •^o)* Il faudra en outre que, si l'on imagine une courbe fermée passant par im point m {x,j, z] la fonction y (x, j-, z) reprenne la même valeur lorsqu'on reviendra au point m, puisqu'on doit retrouver la même pression.
704. S'il n'y a pas de force qui sollicite les molécules intérieures, la pression sera constante dans toute la masse du iluid^, de sorte qu'une pression extérieure exercée sur une partie du fluide adjacente à une paroi du vase doit se transmettre avec la même intensité sur des éléments de
292 COUKS DE MÉCANIQUE.
surface équivalents dans toute la masse et sur toutes les parois.
705. On appelle 5?<r/ace de m'weau une surface dont tous les points éprouvent la même pression. La formule (4) montre qu'elles sont toutes comprises dans l'équation
a étant une constante. Si l'on fait varier cette quantité d'une manière continue, on obtient une infinité de surfaces. Une couche de niveau est la masse du fluide comprise entre deux surfaces de niveau. L'équation f{oc,j, z) =: a montre que deux surfaces de niveau ne peuvent pas se couper.
706. La force motrice est normale à la surface de niveau en chacun de ses points. En effet, soit P cette force, on a, en tout point de cette surface,
X d.v -hYdj -i-Zdz=o,
d'où, en divisant par Pf/5, ds étant un petit arc tracé sur la surface,
X clx Y dr Z dz
P ds V ds P ds '
équation qui montre bien que la Ibrce P est perpendiculaire à tout élément de courbe tracé sur la surface et passant par le point m.
707. Si la pression est nulle ou constante en tous les points de la surface libre d'un fluide, celle-ci est une surface de niveau. Dans un liquide il peut se faire qu'il n'y ait pas dépressions extérieures. Il n'en est plus de même dans les fluides élastiques. Ils ne peuvent avoir de surface libre, ou sur laquelle la pression soit nulle, parce que la pression est liée à la densité par l'équation p=zkp, k étant une constante dont la valeur dépend de la température, en sorte que pour qu'il n'y eût pas de pression dans une partie de la masse, il faudrait qu'il n'y eût pas
de matière en cet endroit : c'est ce qui explique la nécessité de maintenir les gaz dans des vases fermés de toutes parts.
