ÉQUILIBRE DES FLUIDES ET DES CORPS PLONGES DANS LES FLUIDES

Figure permanente d'un fluide tournant autour d'un axe. — Pression d'un liquide sur le fond d'un vase qui le renferme. — Equilibre do plusieurs liquides contenus dans le même vase. — Vases communiquants. — Principe d'Archimède.

FIGURE PERMANENTE D UN FLUIDE TOURNANT AUTOUR d'un AXE.

710. Supposons un fluide pesant, contenu dans un vase de forme quelconque, tournant d'un mouvement uniforme autour d'un axe vertical Oz. Au bout d'un certain temps la niasse fluide prend une figure permanente d'équilibre qu'il s'agit de déterminer. Soient X, Y, Z les composantes de la force accélératrice P d'un point quelconque m. La molécule ?7i décrit une circonférence de cercle autour de l'axe Oz, et sa force effective est la force centripète /7Z/-W", o) étant la vitesse angulaire et 7- le rayon du cercle. D'après le principe de d'Alembert, il y aura constamment équilibre entre les forces motrices et les forces centrifuges de toutes les molécules du fluide, c'est-à-dire que ces forces ne troubleront pas le mouvement commun de rotation uniforme en déplaçant les molécules les unes par rapport aux autres. Donc en appliquant à l'élat d'équilibre actuel l'équation (2) du îi° 703 et observant que les composantes de la force centrifuge sont mxdi^, niyoi^ et o, on a

dp — p [Xdx -{- Y df + Z ch) -h pw' (xdx -4- jdf ) .

Or, si les forces motrices se réduisent à la pesanteur, on a

X =^ o, Y .-r=: o, Z = — g^ et il vient

dp =1 — p gdz -\- p(ji^[xdz: -\- ydy) , d'où, en intégrant et représentant la constante par gpQ,

En donnant à p des valeurs constantes, on aura différentes surfaces de niveau. Leur équation peut s'écrire

Elle représente un paraboloïde de révolution dont la parabole méridienne a pour équation dans le plan des zx

Cette parabole ne change pas de grandeur avec p, mais la position de son sommet surl'axede rotation est variable avec

p, car il est à un distance de l'origine égale à C — - —

SP

711. Les surfaces de ni veau sont donc toujours des paraboloïdes, quelle que soit la forme du vase, et celle de la surface supérieure qui termine le fluide. Dans tous les cas on déterminera la constante C en exprimant que le volume du liquide est donné. Supposons, par exemple, que le liquide soit contenu dans un vase cylindrique ayant pour base sur le plan xOy le cercle dont le rayon est a et que b soit la hauteur de la partie du cylindre occupée par le liquide avant le mouvement. Son volume est rra^fe. Supposons en outre que la surface libre supporte simplement la pression atmosphérique constante représentée par zô. Elle sera alors une surface de niveau. Il est facile d'évaluer le volume correspondant du liquide terminé par cette surface de niveau en le décomposant en tranches cylin-

driques ayant Taxe des z pour axe. On aura donc

I/o en remplaçant z par sa valeur déduite de (2),

on aura une équation qui fera connaître C. On trouve ainsi

PRESSION d'un liquide SUR LE FOKD DU VASE QUI LE RENFERME.

712. Considérons maintenant un liquide pesant et incompressible, soumis seulement à l'action de la pesanteur. En prenant les mêmes axes que dans le cas général, on a

dpz=gpclz,

d'oïi

p—.gpzA-zy,

CT étant une constante. On voit que la pression varie seulement avec z et qu'elle croit proportionnellement à la profondeur. Les surfaces de niveau sont donc des plans horizontaux. Si l'on fait z rr= o, on a p = cy : donc celte constante représente la pression qui s'exerce sur la surface libre, c'est-à-dire ordinairement la pression atmosphérique. En joignant à celle-ci gpz, on a la valeur de la pression à la profondeur z; mais, pour simplifier, nous omettrons la pression atmosphérique, qu'il faudra rétablir à la fin du calcul pour donner aux résultats toute leur exactitude. Ainsi nous poserons simplement

p = gpz.

On conclut de cette formule que si h est l'aire de la base supposée horizontale et h la hauteur du liquide, la pression totale P que supporte cette'base est