L IM N

Il suffit évidemment d'exprimer que la force R. et la direction du moment linéaire sont perpendiculaires entre elles, ce qui donne

(i) jrL4- FM-t- ZN = o.

Cette équation exprime que les forces se réduisent à une force unique pourvu que X, Y^ Z ne soient pas nulles à la fois, sans quoi le système se réduirait à un couple, et il n'y aurait pas de résultante unique.

370. On peut encore arriver à ce résultat d'une autre manière et déterminer en même temps la position de la

droile suivant laquelle agit la résultante. Introduisors une force R, égale et directement opposée à la résultante, le système sera en équilibre. Par conséquent, si Xj, Y,, Zj sont les composantes de Ri et .r, , y^^ Tj, les coordonnées d'un point quelcûojaue de sa direction, on aura ""^^---— -^^

(2) XH-X. = o, r + Y,=:o, Z-i-Z. = o

■ et ensuite

Les trois premières équations donnent

Js. I — — ^ y X 1 -^^ — T y Zjx — — i^ •

On retrouve ainsi ce résultat connu que la résultante unique des forces proposées est égale et parallèle à la force R et qu'elle agit dans le même sens.

On a ensuite les équations (3) pour déterminer x^^ Yi, Zi. Mais on voit à priori que l'on ne trouvera pas de valeurs déterminées pour ces trois inconnues, car, s'il y a une résultante, on doit pouvoir transporter son point d'application en un point quelconque de sa direction. Ces trois équations doivent donc se réduire à deux et à une équation de condition. En effet, à cause de Xi = — X, Yj =3 — J", Zi =r — Z, on peut écrire ces équations ainsi :

j Tz, — Zj, + L --^o,

(4) ■ < Zx, — Xz, -'r- M --0,

( Xj, — r jc, + K = o .

Puis, si on les ajoute membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par X, JT, Z, on aura

XL+ YU +-ZN =o,

équation déjà obtenue. Si elle est vérifiée, deux des trois

équations (4) seront les équations de la droite suivant laquelle agit la résultante.

CAS d'un point fixe.

371 . Soit O le point fixe. En y transportant toutes les forces, on obtiendra une résultante R et un couple (S, — S). La résultante est détruite par la fixité du point. Quant au couple (S, — S), il doit être nul : car, en, transportant le couple parallèlement à lui-même jusqu'à ce que la force S vienne passer par le point fixe, cette force S serait détruite et la force — S aurait tout son effet. Donc le moment du couple (S, — S) est nul et la pression qu'éprouve le point fixe est égale à la résultante de toutes les forces transportées parallèlement à ellesmêmes en ce point.

372. On peut encore obtenir ces conditions en introduisant la résistance Rj du point fixe. Soient Xi, Yj, Zj les composantes de la force Ri : puisqu'il y a équilibre, on aura

L'introduction de la force Rj ne donnant aucun nouveau terme dans les expressions L, M, N, on aura

Lr=o, ]M = o, N = o.

Les trois premières équations déterminent Xj, Y,, Zj et font voir que la résistance Rj est égale et directement opposée à R. Les trois autres sont les équations de condition et expriment que le couple résultant (S, — S) est nul.

CAS d'un axe fixe.

373. Supposons qu'il y ait dans le système un axe fixe, ou, ce qui revient au même, deux points fixes O et H. Prenons pour axe des z, la droite OH, et pour axes des x et des y y deux droites passant par le point O.

La résultante des forces transportées parsllèlement à elleg-mêmes au point O est détruite, puisque ce point est ''•îT- 125. fixe. Quant aux couples résul-

tant de cette translation et situés dans les plans zO.x elzOy^ ils sont détruits par la résistance de l'axe O^, car on peut faire tourner chacun d'eux jusqu'à ce que les deux forces qui le composent soient perpendiculaires à l'axe fixe qui les détruit toutes. Il ne reste donc plus que le couple N situé dans le plan xOj, qui doit être nul; sans quoi, en le transportant jusqu'à ce qu'une de ses forces passe par le point O, celle-ci serait détruite et l'autre ferait tourner le système autour de Taxe Oz. La seule condition d'équilibre est donc

On peut l'énoncer en disant que la somme des moments des forces par rapport à V axe fixe doit être nulle.

374. Si le corps peut glisser le long de l'axe, par exemple, s'il est traversé par une tige fixe et inflexible, les composantes X., Y eX les couples L, M sont détruits par la résistance de l'axe, mais la force Z ne l'est pas. On a alors deux équations d'équilibre

375. Nous avons établi, pour conditions d'équilibre, dans le cas d'un point fixe, les équations

donc, pourqu'un nombre quelconque de forces appliquées à un corps solide soit en équilibre autour d'un point fixe, il faut et il suffit qu'elles le soient autour de trois axes passant par le point fixe.